Question

【題目】如圖，⊙O 是△ABC 的外接圓，BC 是直徑，AC＝2DH，過點 D 作 DH 垂直BC 于點 H，以下結論中：①BH＝HD；②∠BAO＝∠BOD；③；④連接 AO、BD，若 BC＝8，sin∠HDO＝ ，則四邊形 ABDO 的面積為， 其中正確的結論是 ____（請填寫序號）

Answer 1

【答案】②③

【解析】

作 OE⊥AC 于 E．首先證明 Rt△DOH≌Rt△AOE≌Rt△COE，利用全等三角形的性質，解直角三角形等知識一一判斷即可.

作 OE⊥AC 于 E．

∵OE⊥AC，

∴AE＝EC，

∵AC＝2DH，

∴DH＝AE＝CE，

∵OD＝OA＝OC，

∴Rt△DOH≌Rt△AOE≌Rt△COE，

∴∠ODH＝∠OAC，OH＝OE，

∵BC 是直徑，

∴∠BAC＝90°，

∴∠BAO+∠OAE＝90°，∵∠BOD+∠ODH＝90°，

∴∠BAO＝∠BOD，故②正確，

假設①成立，則點 H 與 O 重合，顯然不符合題意，故①錯誤；

∵AE＝EC，BO＝OC，

∴AB＝2OE＝2OH，

∴，故③正確，

∵BC＝8，sin∠ODH＝ ，

∴OH＝OE＝1，

∴AE＝EC＝DH＝ ，

∴S△AOB＝2S△AOE＝2×××1＝，

∵S△BOD＝ ×4× ＝2 ，

∴S 四邊形 ABDO＝S△ABO+S△OBD＝+2 ＝3．故④錯誤， 故答案為②③．