Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，AC=2，BC=4，CD=BD=DE，則CE=（　　）

A. 3﹣ B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

先根據勾股定理計算直徑AB==2，作垂線DP和DQ，根據角平分線的性質得：DP=DQ，由全等可得AP=AQ，設未知數列等式，可得PC和BQ的長，再根據等腰三角形的性質得：∠DEC=∠DCE，根據外角性質得：∠ACE=∠ECB，則∠ACE=∠ECB=45°，作輔助線后可得：△EFC是等腰直角三角形，設EF=FC=a，則CE=a，AF=2-a，根據△AFE∽△APD，列比例式可得a的值，求CE的長．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵AC=2，BC=4，

∴AB==2，

∵CD=BD，

∴，

∴∠CAD=∠BAD，

過D作DP⊥AC于P，DQ⊥AB于Q，連接OD，

∴PD=DQ，

∴Rt△DPC≌Rt△DQB（HL），

∴CP=BQ，

易得△APD≌△AQD，

∴AP=AQ，

設PC=x，則AP=2+x，AQ=AB-BQ=2-x，

∴2+x=2-x，

x=-1，

∴BQ=CP=-1，OQ=1，

Rt△ODQ中，DQ=PD==2，

∵DE=DC，

∴∠DEC=∠DCE，

∵∠DEC=∠CAD+∠ACE，∠DCE=∠ECB+∠ACE，

∴∠CAD+∠ACE=∠ECB+∠DCB，

∵，

∴∠CAD=∠DCB，

∴∠ACE=∠ECB，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACE=∠ECB=45°，

過E作EF⊥AP于F，

∴△EFC是等腰直角三角形，

設EF=FC=a，則CE=a，AF=2-a，

∵EF∥PD，

∴△AFE∽△APD，

∴，

∴，

∴a=3-，

∴CE=a=（3-）=3-.

故選D．