Question

【題目】小明發現相機快門打開過程中，光圈大小變化如圖1所示，于是他繪制了如圖2所示的圖形．圖2中留個形狀大小都相同的四邊形圍成一個圓的內接六邊形和一個小正六邊形，若PQ所在的直線經過點M，PB=5cm，小正六邊形的面積為cm2，則該圓的半徑為________cm．

Answer 1

【答案】8.

【解析】分析: 設兩個正六邊形的中心為O，連接OP,OB,過點O作OG⊥PM于點G，OH⊥AB于點H，如圖所示：很容易證出三角形PMN是一個等邊三角形，邊長PM的長，，而且面積等于小正六邊形的面積的， 故三角形PMN的面積很容易被求出，根據正六邊形的性質及等腰三角形的三線和一可以得出PG的長，進而得出OG的長，,在Rt△OPG中，根據勾股定理得 OP的長，設OB為x，，根據正六邊形的性質及等腰三角形的三線和一可以得出BH，OH的長，進而得出PH的長，在Rt△PHO中，根據勾股定理得關于x的方程，求解得出x的值，從而得出答案.

詳解: 設兩個正六邊形的中心為O，連接OP,OB,過點O作OG⊥PM于點G，OH⊥AB于點H，如圖所示：

很容易證出三角形PMN是一個等邊三角形，邊長PM=,而且面積等于小正六邊形的面積的，

故三角形PMN的面積為cm2，

∵OG⊥PM，且O是正六邊形的中心，

∴PG=PM=

∴OG=,

在Rt△OPG中，根據勾股定理得 ：OP2=OG2+PG2,即=OP2,

∴OP=7cm，

設OB為x，

∵OH⊥AB，且O是正六邊形的中心，

∴BH=X,OH=，

∴PH=5-x，

在Rt△PHO中，根據勾股定理得OP2=PH2+OH2,即;

解得：x1=8,x2=-3（舍）

故該圓的半徑為8cm.

故答案為:8.