Question

 已知：如圖，在矩形中，是對角線.點為矩形外一點且滿足，.交于點，連接，過點作交于.

（1）若，求矩形的面積；

（2）若，求證：.

 

Answer 1

【答案】

（1）3（2）證明見解析

【解析】（1）∵AP⊥CP且AP＝CP

        ∴△APC為等腰直角三角形

        ∵AP＝

        ∴AC＝.................1分

        ∵AB＝BC

        ∴設AB＝x，BC＝3x

        ∴在Rt△ABC中

        x²+(3x)²=10

          10x²=10

           x=1.................3分

        ∴.................4分

     （2）延長AP，CD交于Q

          ∵∠1+∠CND=∠2+∠PNA=90⁰

          且∠CND=∠ANP

          ∴∠1=∠2

         又∠3+∠5=∠4+∠5=90⁰

          ∴∠3=∠4

         又∵AP＝CP

          ∴△APM≌△CPD

          ∴DP＝PM

         又∵CD＝PM

          ∴CD＝PD

          ∴∠1＝∠3

          ∠1+∠Q＝∠3+∠6＝90°

          ∵∠1＝∠3

          ∴∠Q=∠6

          ∴DQ=DP=CD

          ∴D為CQ中點

         又∵AD⊥CQ

          ∴AC＝AQ＝AP+PQ

         又∵∠1＝∠2

          ∠APN＝∠CPQ＝90⁰

          AP=CP   ∴△APN≌△CPQ

∴PQ＝PN

          ∴AC＝AP+PQ＝AP+PN.................10分

（1）由已知條件知△APC為等腰直角三角形，即可求得AC的長，再利用勾股定理求得AB，BC的長，從而求得矩形ABCD的面積

（2）延長AP，CD交于Q,通過角之間的等量關系，求得△APN≌△CPQ，得出PQ＝PN，從而求得結論