Question

【題目】如圖，矩形的對角線，相交于點，將沿所在直線折疊，得到．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若，當四邊形是正方形時，等于多少？

（3）若，，是邊上的動點，是邊上的動點，那么的最小值是多少？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）的最小值為．

【解析】

（1）根據矩形的性質可得OD=OC，再根據對折的特點，得出四邊形ODEC四條邊相等，從而證菱形；

（2）根據正方形的特點，在Rt△ODC中，利用勾股定理可求得OC的長；

（3）點E關于DC的對稱點為點O，則PE+PQ=PO+PQ，故當PQ⊥CE時，為最小值．

（1）證明：∵四邊形是矩形，

∴與相等且互相平分，

∴，

∵關于的對稱圖形為，

∴，，

∴，

∴四邊形是菱形．

（2）∵四邊形是矩形，，

∴

∵四邊形是正方形

∴

在中，由勾股定理得：

∵

∴．

（3）解：作于，交于，如圖所示：

此時的值最小為；理由如下

∵沿所在直線折疊，得到，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

在中

，

即的最小值為．