Question

【題目】在中，，點是直線上一點（不與、重合），以為一邊在的右側作，使，，連接.

（1）如圖1，當點在線段上時，如果，則______度；

（2）設，.

①如圖2，當點在線段上移動，則，之間有怎樣的數量關系？請說明理由；

②當點在直線上時，則，之間有怎樣的數量關系？

寫出所有可能的結論并說明條件.

答：（2）①數量關系____________.

理由：

②數量關系____________.

備用圖：

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）①α+β=180°，理由見解析；②當點D在射線BC上時，α+β=180°；當點D在射線BC的反向延長線上時，α=β.

【解析】

（1）先用等式的性質得出∠CAE=∠BAD，再利用SAS判定△ABD≌△ACE，得到∠B=∠ACE，最后用等式的性質即可得出結論；

（2）①由（1）的結論即可得出α+β=180°；②分類討論，同（1）的方法證明△ABD≌△ACE即可得出結論．

解：（1）∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC∠DAC=∠DAE∠DAC，

即∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中,

∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE(SAS)；

∴∠B=∠ACE；

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°∠BAC=90°；

故答案為：90°；

(2)①由(1)的結論可知β=180°α，

∴α、β存在的數量關系為α+β=180°；

②當點D在射線BC上時，如圖1，

同(1)的方法即可證△ABD≌△ACE(SAS)；

∴∠ABD=∠ACE，

∴β=∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABD=180°∠BAC=180°α，

∴α+β=180°；

當點D在射線BC的反向延長線上時，如圖2，

同(1)的方法即可證△ABD≌△ACE(SAS)；

∴∠ABD=∠ACE，

∴β=∠BCE=∠ACE∠ACB=∠ABD∠ACB=∠BAC=α，

∴α=β.