Question

已知△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于D，交AC于E．

(1)如圖，若AB＝6，CD＝2，求CE的長．

(2)如圖，當∠A為銳角時，連接BE，試判斷∠BAC與∠CBE的關系，并證明你的結論．

(3)若上圖中的邊AB不動，邊AC繞點A按逆時針旋轉，當∠BAC為鈍角時，如下圖，CA的延長線與⊙O相交于E．

請問：∠BAC與∠CBE的關系是否與(2)中你得出的關系相同？若相同，請加以證明；若不同，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)如圖，連接AD． 　　∵AB為直徑，∴AD⊥BC． 　　又∵AB＝AC，∴BD＝CD． 　　又∵CD＝2，∴BD＝2． 　　由上述分析可知CE·CA＝CD·CB．得6·CE＝2×(2＋2)，∴CE＝1． 　　(2)∠BAC與∠CBE的關系是：∠BAC＝2∠CBE． 　　證明如下：如圖，連接AD． 　　∵AB為直徑，∴AD⊥BC． 　　又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2． 　　又∵∠2＝∠CBE，∴∠BAC＝2∠CBE． 　　(3)相同，證明如下： 　　如圖，連接AD． 　　∵AB為直徑，∴AD⊥BC． 　　又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2． 　　∵∠CAD是圓內接四邊形AEBD的外角， 　　∴∠2＝∠CBE，∴∠CAB＝2∠CBE． 　　分析：在圖中AB＝AC，△ABC是一個等腰三角形，又由AB是直徑，所以連結AD，AD⊥BC，則AD是△ABC的高，且∠BAD＝∠CAD，BD＝DC．由此可進一步研究，若連接DE，則∠DEC＋∠AED＝，∠B＋∠AED＝，所以∠DEC＝∠B，△CDE∽△CAB，從而＝，即CE·CA＝CD·CB，則問題可以得到解決．