Question

【題目】（1）如圖①，ABCD的對角線AC，BD交于點O，直線EF過點O，分別交AD，BC于點E，F．求證：AE=CF．

（2）如圖②，將ABCD（紙片）沿過對角線交點O的直線EF折疊，點A落在點A1處，點B落在點B1處，設FB1交CD于點G，A1B1分別交CD，DE于點H，I．求證：EI=FG．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥BC，OA=OC，又由平行線的性質，可得∠1=∠2，繼而利用ASA，即可證得△AOE≌△COF，則可證得AE=CF．

（2）根據平行四邊形的性質與折疊性質，易得A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，繼而可證得△A1IE≌△CGF，即可證得EI=FG．

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，OA=OC，

∴∠1=∠2，

∵在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴AE=CF；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠A=∠C，∠B=∠D，

由（1）得AE=CF，

由折疊的性質可得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，

∴A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，

又∵∠1=∠2，

∴∠3=∠4，

∵∠5=∠3，∠4=∠6，

∴∠5=∠6，

∵在△A1IE與△CGF中，

，

∴△A1IE≌△CGF（AAS），

∴EI=FG．