Question

（2012•南安市質檢）已知二次函數y=x²+bx-3（b為常數）的圖象經過點（2，-3 ）．
（1）求b的值；
（2）如圖，已知點A（1，0）、B（6，0），∠ABC=90°，AB=BC，將△ABC沿x軸向左平移n個單位得到△A′B′C′，若點C′恰好落在第一象限的拋物線上，求n的值；
（3）在（2）的條件下，點M是線段A′C′上一動點（點A′、C′除外），過點M作x軸的垂線交拋物線于點N，當線段MN的長度達到最大時，求以MN為直徑的圓與直線A′C′的另一個交點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）將已知點的坐標直接代入拋物線的解析式中，即可確定待定系數的值．
（2）由A、B點的坐標以及△ABC是等腰直角三角形，不難確定點C的坐標；將△ABC向左移動的過程中，點C的縱坐標不變，代入拋物線的解析式中即可得出點C′的坐標，由此得出n的值．
（3）首先求出直線A′C′的解析式，然后根據直線B′C′和拋物線的解析式，表示出點M、N的坐標，兩點縱坐標的差的絕對值即線段MN的長，由此確定MN的最大值．在以MN為直徑的圓中，易證得△PMN是等腰直角三角形，那么點P到MN的距離必為MN長的一半，根據這個等量關系求解即可．

解答：解：（1）由已知條件，得4+2b-3=-3；
∴b=-2．

（2）∵A（1，0）、B（6，0），∴BC=AB=5
∴點C（6，5）；
依題意：得 5=x²-2x-3
∴x₁=4，x₂=-2（點C′在第一象限，舍棄）
∴點C′（4，5），則n=6-4=2．

（3）由（2）得點A′（-1，0），點C′（4，5）
∴直線A′C′的解析式為y=x+1．
設點M（m，m+1）、N（m，m²-2m-3）
∴MN=（m+1）-（m²-2m-3）=-m²+3m+4=-（m-

3

2

）²+

25

4

當m=

3

2

時，MN最大值=

25

4

，
∴點M（

3

2

，

5

2

）、N（

3

2

，-

15

4

）；
另設點P的坐標為（t，t+1），過點P作PH⊥MN于H，連接PN，
∵MN是圓的直徑，∴∠MPN=90°；
又∵∠PMN=∠C′=45°，
∴△PMN為等腰直角三角形．
而∵PH⊥MN，∴PH=

1

2

MN，
∴

3

2

-t=

1

2

×

25

4

，解得t=-

13

8

∴點P（-

13

8

，-

5

8

）．

點評：該題是二次函數和圓的綜合題，主要涉及了利用待定系數法確定函數解析式、圖形的平移等知識．（3）的描述看起來較為復雜，但通過作圖后可發現難度并不算大，所以在解題過程總，一定要合理應用數形結合的數學思想．