Question

A．某中學師生在勞動基地活動時，看到木工師傅在材料邊角處畫直角時，用了一種“三弧法”．方法是：
①畫線段AB，分別以A，B為圓心，AB長為半徑畫弧相交于C；
②以C為圓心，仍以AB長為半徑畫弧交AC的延長線于D；
③連接DB．則∠ABD就是直角．
（1）請你就∠ABD是直角作出合理解釋；
（2）現有一長方形木塊的殘留部分如圖，其中AB，CD整齊且平行，BC，AD是參差不齊的毛邊．請你在毛邊附近用尺規畫一條與AB，CD都垂直的邊（不寫作法，保留作圖痕跡）；

B．如圖，在△ABC中，D為AC上一點，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E為垂足，連接AE．
（1）寫出圖中所有相等的線段，并選擇其中一對給予證明；
（2）圖中有無相似三角形？若有，請寫出一對；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：A（1）在連接BC后，由作圖過程可知，AC=BC=AB=CD所以∠1=∠2，∠4=∠5，又∠1+∠2+∠5+∠4=2（∠2+∠5）=180°所以∠ABD=90°
（2）作圖過程可以參照（1），解釋相同．
B（1）因為CE和BD垂直，且∠BDC=60°，所以∠ECD=30°，所以ED=CD，又CD=2DA，所以DE=DA．∠DAE=∠DEA=30°，CE=EA
又∠DAB=45°，∴∠ABD=∠CDB-∠BAD=15°，所以BE=AE．
（2）△ADE∽△AEC，又（1）知，∠EAD=DEA=∠ACE，所以△ADE∽△AEC．
解答：A題解：（1）解法一：由作圖知，AB=BC=CD=AB，∴BC=AD
根據三角形一邊上的中線等于這邊的一半，
那么這個三角形是直角三角形，
這條邊所對的角就是直角，即∠ABD是直角．
解法二：由作圖知，AC=BC=CD=AB，
所以△ABC為等邊三角形．△BCD為等腰三角形，
∠1=∠2=∠3=60°，∠4=∠5，∠3=∠4+∠5=60°，∠5=30°，
∴∠ABD=90度．
（本題說明方法較多，只要合理均可給分）

（2）（3分）如圖所示．

B題解：（1）ED=DA，EA=EB=EC．（2分）
證明：∵CE⊥BD，∴△CED是Rt△．（3分）
∵∠BDC=60°，∴∠ECD=30度．（4分）
∴CD=2DE．（5分）
∵CD=2DA，∴DE=DA．（6分）

（2）有．△ADE∽△AEC．
點評：此題考查了直角的作法，以及相似三角形的判定，難易程度適中．