Question

【題目】如圖，以△ABC的一邊AB為直徑的半圓與其它兩邊AC，BC的交點分別為D、E，且=．

（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

（2）已知半圓的半徑為5，BC=12，求sin∠ABD的值．

Answer 1

【答案】（1）△ABC為等腰三角形；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連結AE，如圖，根據圓周角定理，由=得∠DAE=∠BAE，由AB為直徑得∠AEB=90°，根據等腰三角形的判定方法即可得△ABC為等腰三角形；

（2）由等腰三角形的性質得BE=CE=BC=6，再在Rt△ABE中利用勾股定理計算出AE=8，接著由AB為直徑得到∠ADB=90°，則可利用面積法計算出BD=，然后在Rt△ABD中利用勾股定理計算出AD=，再根據正弦的定義求解．

解：（1）△ABC為等腰三角形．理由如下：

連結AE，如圖，

∵=，

∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠BAC，

∵AB為直徑，

∴∠AEB=90°，

∴AE⊥BC，

∴△ABC為等腰三角形；

（2）∵△ABC為等腰三角形，AE⊥BC，

∴BE=CE=BC=×12=6，

在Rt△ABE中，∵AB=10，BE=6，

∴AE==8，

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，

∴AEBC=BDAC，

∴BD==，

在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=，

∴AD==，

∴sin∠ABD===．