Question

如圖，已知平面直角坐標系xOy中，點A（m，6），B（n，1）為兩動點，其中0＜m＜3，連接OA，OB，OA⊥OB．
（1）求證：mn=-6；
（2）當S_△AOB=10時，拋物線經過A，B兩點且以y軸為對稱軸，求拋物線對應的二次函數的關系式；
（3）在（2）的條件下，設直線AB交y軸于點F，過點F作直線l交拋物線于P，Q兩點，問是否存在直線l，使S_△POF：S_△QOF=1：3？若存在，求出直線l對應的函數關系式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：作BC⊥x軸于C點，AD⊥x軸于D點，
∵A，B點坐標分別為（m，6），（n，1），
∴BC=1，OC=-n，OD=m，AD=6，
又OA⊥OB，
易證△CBO∽△DOA，
∴=，
∴
∴mn=-6．

（2）解：由（1）得，∵△CBO∽△DOA，
∴==，即OA=mBO，
又∵S_△AOB=10，
∴OB•OA=10，
即OB•OA=20，
∴mBO²=20，
又OB²=BC²+OC²=n²+1，
∴m（n²+1）=20，
∵mn=-6，
∴m=2，n=-3，
∴A坐標為（2，6），B坐標為（-3，1），易得拋物線解析式為y=-x²+10．

（3）解：直AB為y=x+4，且與y軸交于F（0，4）點，
∴OF=4，
假設存在直線l交拋物線于P，Q兩點，且使S_△POF：S_△QOF=1：3，如圖所示，
則有PF：FQ=1：3，作PM⊥y軸于M點，QN⊥y軸于N點，
∵P在拋物線y=-x²+10上，
∴設P坐標為（x，-x²+10），
則FM=OM-OF=（-x²+10）-4=-x²+6，
易證△PMF∽△QNF，
∴，
∴QN=3PM=-3x，NF=3MF=-3x²+18，
∴ON=-3x²+14，
∴Q點坐標為（-3x，3x²-14），
∵Q點在拋物線y=-x²+10上，
∴3x²-14=-9x²+10，
解得：x=-，
∴P坐標為，Q坐標為，
∴易得直線PQ為y=2x+4．
根據拋物線的對稱性可得直線PQ另解為y=-2x+4．
分析：（1）作BC⊥x軸于C點，AD⊥x軸于D點，證明△CBO∽△DOA，利用線段比求出mn．
（2）由（1）得OA=mBO推出OB•OA=10，根據勾股定理求出mn的值．然后可得A，B的坐標以及拋物線解析式．
（3）假設存在直線l交拋物線于P、Q兩點，使PF：PQ=1：3，作PM⊥y軸于M點，QN⊥y軸于N點，設P坐標為（x，-x²+10），證明△PMF∽△QNF推出x值，繼而可解出點P、Q的坐標．
點評：本題考查的是二次函數的圖象與應用相結合的有關知識，考生要注意的是假設法的求證方法，難度較大．