Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，E是AB 的中點，連接DE并延長交CB 的延長線于點F，點G在BC邊上，且GDF ADF .

（1）求證：ADE ≌ BFE ；

（2）連接EG ，判斷EG 與DF 的位置關系，并說明理由；

（3）若CDF 90，DF 4，CD 3 ， CF 5 ，求RtCDF的三條角平分線的交點O 到邊CF的距離.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）詳見解析；（3）1.

【解析】

（1）由AD與BC平行，利用兩直線平行內錯角相等，得到一對角相等，再由一對對頂角相等及E為AB中點得到一對邊相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；
（2）∠GDF=∠ADE，以及（1）得出的∠ADE=∠BFE，等量代換得到∠GDF=∠BFE，利用等角對等邊得到GF=GD，即三角形GDF為等腰三角形，再由（1）得到DE=FE，即GE為底邊上的中線，利用三線合一即可得到GE與DF垂直．
（3）根據直角三角形的內切圓的半徑解答即可．

（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE，
∵E為AB的中點，∴AE=BE，
在△ADE和△BFE中，

，
∴△ADE≌△BFE（AAS）；

（2）EG與DF的位置關系是EG垂直平分DF，
理由為：連接EG，
∵∠GDF=∠ADE，∠ADE=∠BFE，
∴∠GDF=∠BFE，
由（1）△ADE≌△BFE得：DE=FE，即GE為DF上的中線，
∴GE垂直平分DF．
（3）∵Rt△CDF的三條角平分線的交點O到邊CF的距離即是△CDF的內切圓的半徑，
∵∠CDF=90°，DF=4，CD=3，CF=5，
設△CDF的內切圓半徑為r，
∵在Rt△CDF中，∠CDF=90°，DF=4，CD=3，CF=5，
∴S△CDF=DCDF=r（DF+DC+CF），
∴r==

=1．
即Rt△CDF的三條角平分線的交點O到邊CF的距離是1．