Question

【題目】某公司計劃購買A、B兩種計算器共100個，要求A種計算器數量不低于B種的，且不高于B種的.已知買1個A種計算器和1個B種計算器共需250元，買2個A種計算器和3個B種計算器的費用相等。

（1）求兩種計算器的單價。

（2）求如何購買可使總費用最低。

（3）由于市場行情波動，實際購買時，A種計算器單價下調m元（m>0），同時B種計算器單價上調了m元，此時購買這兩種計算器所需最少費用為12200元，求m的值。

Answer 1

【答案】（1）A種計算器的單價為150元，B種計算器的單價為100元；（2）買A種計算器20件，B種計算器80件時，總費用最低；（3）m=20.

【解析】

（1）設A種計算器的單價為x元，B種計算器的單價為y元，根據“買1個A種計算器和1個B種計算器共需250元，買2個A種計算器和3個B種計算器的費用相等”列出二元一次方程組，求解即可；

（2）設買A種計算器a件，首先列出總費用w的一次函數關系式，求出a的取值范圍，根據一次函數的性質求解即可；

（3）設買A種計算器b件，則買B種計算器（100-b）件，由（2）可知20≤b≤25，然后分類討論當m在不同的取值范圍內，根據最少費用為12200元分別求出m，舍去不合題意的值即可

解：（1）設A種計算器的單價為x元，B種計算器的單價為y元，

由題意得： ，

解得：，

答：A種計算器的單價為150元，B種計算器的單價為100元；

（2）設買A種計算器a件，

則買B種計算器（100-a）件，總費用w=150a+100×(100-a)=50a+10000，

由題意得：(100-a)≤a≤(100-a)，

解得：20≤a≤25，

∵一次函數w=50a+10000中50＞0，

∴w隨a的增大而增大，當a=20，時，總費用最低，此時100-20=80（件），

即買A種計算器20件，B種計算器80件時，總費用最低；

（3）設買A種計算器b件，則買B種計算器（100-b）件

由（2）可知20≤b≤25，此時總費用w=(150-m)b+(100+m)(100-b)，

當A，B兩種計算器價格相等時，即150-m=100+m，可得m=25，

分情況討論：

①當m＜25時，A計算器價格較貴，

∴b=20時總費用w有最小值，

∴w=(150-m)×20+(100+m)(100-20)=12200，解得：m=20，

②當m=25時，A，B計算器價格一樣，

∴總費用w=125×100=12500（不合題意，舍去），

③當m＞25時，A計算器價格較便宜，

∴b=25時總費用w有最小值，

∴w=(150-m)×25+(100+m)(100-25)=12200，解得：m=19（不合題意，舍去），

綜上所述，m=20.