Question

（2012•淮安）如圖，矩形OABC在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A（0，4），C（2，0）．將矩形OABC繞點O按順時針方向旋轉135°，得到矩形EFGH（點E與O重合）．
（1）若GH交y軸于點M，則∠FOM=

45

°，OM=

2

2

；
（2）將矩形EFGH沿y軸向上平移t個單位．
①直線GH與x軸交于點D，若AD∥BO，求t的值；
②若矩形EFGH與矩形OABC重疊部分的面積為S個平方單位，試求當0＜t≤4

2

-2時，S與t之間的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）由旋轉可得出∠AOF=135°，再由矩形的內角為直角得到一個角為直角，利用∠AOF-∠AOC求出∠COF的度數，再由∠MOC為直角，由∠MOC-∠COF即可求出∠MOF的度數；由∠MOF的度數為45°，利用兩直線平行得到一對內錯角相等，可得出三角形OHM為等腰直角三角形，由OH=MH=2，利用勾股定理即可求出OM的長；
（2）①如圖所示，當AD與BO平行時，由AB與DO平行，利用兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形得到ABOD為平行四邊形，由平行四邊形的對邊相等得到AB=DO=2，由平移可知：∠HEM=45°，可得出∠OMD=∠ODM=45°，即三角形ODM為等腰直角三角形，得到OD=OM，由OD的長求出OM的長，由三角形HEM為等腰直角三角形，且直角邊長為2，利用勾股定理求出EM的長，用EM-OM即可求出平移的距離，即為t的值；
②分三種情況考慮：（i）如圖1所示，當0＜t＜2時，重疊部分為等腰直角三角形，由平移的距離為t，得到等腰直角三角形直角邊為t，利用三角形的面積公式即可表示出S；（ii）如圖2所示，當2≤t＜2

2

時，重疊部分為直角梯形，表示出上底，下底及高，利用梯形的面積公式表示出S即可；（iii）如圖3所示，當2

2

≤t≤4

2

-2時，重疊部分為五邊形，由梯形面積-三角形面積，表示出S即可．

解答：解：（1）如圖所示：

由旋轉可得：∠AOF=135°，又∠AOC=90°，
∴∠COF=∠AOF-∠AOC=45°，又∠MOC=90°，
∴∠FOM=45°，又OF∥HG，
∴∠OMH=∠FOM=45°，又∠H=90°，
∴△OHM為等腰直角三角形，
∴OH=HM=2，
則根據勾股定理得：OM=2

2

；

（2）①如圖所示：連接AD，BO

∵AD∥BO，AB∥OD，
∴四邊形ADOB為平行四邊形，
∴DO=AB=2，
由平移可知：∠HEM=45°，
∴∠OMD=∠ODM=45°，
∴OM=OD=2，
由平移可知：EM=2

2

，
∴矩形EFGH平移的路程t=2

2

-2=2（

2

-1）；
②分三種情況考慮：
（i）如圖1所示，當0＜t≤2時，重疊部分為等腰直角三角形，
此時OE=t，則重疊部分面積S=

1

2

t²；

（ii）如圖2所示，當2＜t≤2

2

時，重疊部分為直角梯形，
此時S=

1

2

[（t-2）+t]×2=2t-2；

（iii）如圖3所示，當2

2

＜t≤4

2

-2時，E點在A點下方，重疊部分為五邊形，
此時S=（2t-2）-

1

2

（t-2

2

）²=-

1

2

t²+2（

2

+1）t-6．

綜上，S=

1 2 t2(0＜t≤2) 2t-2(2＜t≤2 2 ) - 1 2 t2+2( 2 +1)t-6(2 2 ＜t≤4 2 -2)

．
故答案為：45；2

2

．

點評：此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：平移的性質，旋轉的性質，等腰直角三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，以及梯形的面積公式，利用了分類討論的思想，根據題意作出相應的圖形是解本題的關鍵．