Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OA⊥OB，AB⊥x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A（ ，1）在反比例函數(shù)y= 的圖象上．

（1）求反比例函數(shù)y= 的表達(dá)式；
（2）在x軸的負(fù)半軸上存在一點(diǎn)P，使得S△AOP= S△AOB ， 求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若將△BOA繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BDE．直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在該反比例函數(shù)的圖象上．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)A（ ，1）在反比例函數(shù)y= 的圖象上，

∴k= ×1= ，

∴反比例函數(shù)表達(dá)式為y=

（2）

解：∵A（ ，1），AB⊥x軸于點(diǎn)C，

∴OC= ，AC=1，

∵OA⊥OB，OC⊥AB，

∴∠A=∠COB，

∴tan∠A= =tan∠COB= ，

∴OC2=ACBC，即BC=3，

∴AB=4，

∴S△AOB= × ×4=2 ，

∴S△AOP= S△AOB= ，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），

∴ ×|m|×1= ，解得|m|=2 ，

∵P是x軸的負(fù)半軸上的點(diǎn)，

∴m=﹣2 ，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2 ，0）

（3）

解：由（2）可知tan∠COB= = = ，

∴∠COB=60°，

∴∠ABO=30°，

∵將△BOA繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BDE，

∴∠OBD=60°，

∴∠ABD=90°，

∴BD//x軸，

在Rt△AOB中，AB=4，∠ABO=30°，

∴AO=DE=2，OB=DB=2 ，且BC=3，OC= ，

∴OD=DB﹣OC= ，BC﹣DE=1，

∴E（﹣ ，﹣1），

∵﹣ ×（﹣1）= ，

∴點(diǎn)E在該反比例函數(shù)圖象上

【解析】（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得反比例函數(shù)表達(dá)式；（2）由條件可求得∠A=∠COB，利用三角函數(shù)的定義可得到OC2=ACBC，可求得BC的長(zhǎng)，可求得△AOB的面積，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），由題意可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值；（3）由條件可求得∠ABD=90°，則BD//x軸，由BD、DE的長(zhǎng)，可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式進(jìn)行判斷即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動(dòng)了相同的角度，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．旋轉(zhuǎn)的方向、角度、旋轉(zhuǎn)中心是它的三要素才能正確解答此題．