Question

【題目】如圖，以△ABC的三邊為邊分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF
（1）求證：△EBF≌△DFC；
（2）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；
（3）①△ABC滿足時，四邊形AEFD是菱形．（無需證明） ②△ABC滿足時，四邊形AEFD是矩形．（無需證明）
③△ABC滿足時，四邊形AEFD是正方形．（無需證明）

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABE、△BCF為等邊三角形，

∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，

∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE，

在△ABC和△EBF中，

，

∴△ABC≌△EBF（SAS），

∴EF=AC，

又∵△ADC為等邊三角形，

∴CD=AD=AC，

∴EF=AD=DC，

同理可得△ABC≌△DFC，

∴DF=AB=AE=DF，

∴四邊形AEFD是平行四邊形；

∴∠FEA=∠ADF，

∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF，

在△FEB和△CDF中，

．

∴△EBF≌△DFC（SAS）

（2）證明：∵△EBF≌△DFC，

∴EB=DF，EF=DC．

∵△ACD和△ABE為等邊三角形，

∴AD=DC，AE=BE，

∴AD=EF，AE=DF

∴四邊形AEFD是平行四邊形

（3）AB=AC；∠BAC=150°；AB=AC，∠BAC=150°
【解析】（3）①若AB=AC，則平行四邊形AEFD是菱形； 此時AE=AB=AC=AD，即△ABC是等腰三角形；
故△ABC滿足AB=AC時，四邊形AEFD是菱形；
②若∠BAC=150°，則平行四邊形AEFD是矩形；
由（1）知四邊形AEFD是平行四邊形，則∠EAD=90°時，可得平行四邊形AEFD是矩形，
∴∠BAC=360°﹣60°﹣60°﹣90°=150°，
即△ABC滿足∠BAC=150°時，四邊形AEFD是矩形；
③綜合①②的結論知：當△ABC是頂角∠BAC是150°的等腰三角形時，四邊形AEFD是正方形．
故答案是：①AB=AC；
②∠BAC=150°；
③AB=AC，∠BAC=150°．

（1）由△ABE與△BCF都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到兩對邊相等，∠ABE=∠CBF=60°，利用等式的性質得到夾角相等，利用SAS得到△EBF與△DFC全等；（2）利用（1）中全等三角形對應邊相等得到EF=AC，再由三角形ADC為等邊三角形得到三邊相等，等量代換得到EF=AD，AE=DF，利用對邊相等的四邊形為平行四邊形得到AEFD為平行四邊形；（3）①當AE=AD時，ADFE是菱形；②當∠BAC=150°，由此可求得∠EAD的度數，則可得ADFE是矩形；③當ADFE是正方形時，∠EAD=90°，且AE=AD，聯立①②的結論即可．
【考點精析】通過靈活運用等邊三角形的性質和平行四邊形的判定與性質，掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積即可以解答此題．