Question

如圖，△ABC中，D為AC上一點，CD＝2DA，∠BAC＝45°，∠BDC＝60°，CE⊥BD，E為垂足，連結AE．

(1)寫出圖中所有相等的線段，并加以證明；

(2)圖中有無相似三角形？若有，請寫出一對；若沒有，請說明理由；

(3)求△BEC與△BEA的面積之比．

Answer 1

答案：
解析：

(1)EC＝EA＝EB，DE＝DA 　　∵∠DEC＝90°，∠BDC＝60°，∠DCE＝30°∴DE＝CD＝DA 　　∴∠DEA＝∠DAE，又∠EDC＝∠DEA＋∠DAE＝60° 　　∴∠DEA＝∠DAE＝30° 　　又∠BAC＝45°∴∠EAB＝∠BAC－∠DAE＝15° 　　而∠DEA＝∠EAB＋∠EBA∴∠EBA＝15° 　　∴∠EBA＝∠EAB∴EA＝EB 　　∵∠DCE＝∠DAE＝30° 　　∴EC＝EA∴EC＝EA＝EB 　　(2)△ADE∽△CEA或△BCD∽△ACB 　　(3)過點A作AF⊥BD，交BD的延長線于點F， 　　則∠AFD＝∠CED＝90°，又∠ADF＝∠CDE∴△CED∽△AFD 　　∴＝2 　　∴＝2