Question

【題目】如圖，二次函數的圖象與軸交于，，與軸交于點．若點，同時從點出發，都以每秒個單位長度的速度分別沿，邊運動，其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．

（1）直接寫出二次函數的解析式；

（2）當，運動到秒時，將△APQ沿翻折，若點恰好落在拋物線上點處，求出點坐標；

（3）當點運動到點時，點停止運動，這時，在軸上是否存在點，使得以，，為頂點的三角形為等腰三角形?若存在，請直接寫出 點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3） 存在滿足條件的點 ，點 的坐標為 或 或 或 ．

【解析】

（1）將A，B點坐標代入函數中，求得b、c，進而即可求得解析式；

（2）根據題意，D點關于PQ與A點對稱，過點Q作于F，先證明四邊形是菱形，再結合三角形相似以及設進行求解即可得解；

（3）等腰三角形有三種情況，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ，借助垂直平分線，畫圓易得E大致位置，設邊長為x，表示其他邊后利用勾股定理易得E坐標．

（1）將，代入，求得，

∴；

（2）如圖，D點關于PQ與A點對稱，過點Q作于

∵，，

∴

∴四邊形為菱形

∵

∴

∴

∴，

∴

∵

∴

∵D在二次函數上

∴

∴，或（舍去）

∴；

（3）存在滿足條件的點E，點E的坐標為或或或

如上圖，過點Q作于D，此時

∵，，，

∴，，

∴，

∵

∴

∴

∴，；

①如下圖，作AQ的垂直平分線，交AQ于E

此時，即為等腰三角形

設，則，

∴在中，，解得

∴

∴；

②如下圖，以Q為圓心，AQ長半徑畫圓，交x軸于E

此時

∵

∴

∴

∴；

③當時

1）當E在A點左邊時

∵

∴

2）當E在A點右邊時

∵

∴；

綜上所述，存在滿足條件的點E，點E的坐標為或或或．