Question

如圖，A、B、C三點在同一直線上，分別以AB、BC為邊，在直線AC的同側作等邊△ABC和等邊△BCE，連接AE交BD于點M，連接CD交BE于點N，連接MN得△BMN，試判斷△BMN的形狀，并說明理由．

Answer 1

△BMN為等邊三角形．理由如下：
∵等邊△ABD、等邊△BCE，
∴∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠EBC+∠DBE，
∴∠ABE=∠DBC，
∵AB=DB，BE=CB，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴∠CDB=∠BAE，
∵∠DBE=180°-60°-60°=60°=∠ABD，
在△ABM和△DBN中

∠BDC=∠BAE DB=AB ∠ABD=∠DBE

，
∴△ABM≌△DBN，
∴BM=BN，
∵∠DBE=60°，
∴△BMN是等邊三角形．
∴BD∥CE，
同理可證AD∥BE，
即可得△BCN∽△ACD，△ABM∽△ACE，
∴

BM

CE

=

AB

AC

，

BN

AD

=

BC

AC

，
∵BC=CE，AD=AB，
∴BM=BN，
又∵∠MBN=180°-∠ABD-∠EBC=60°，
∴△BMN為等邊三角形．