Question

（2008•南平質檢）如圖，A是半徑為6cm的⊙O上的定點，動點P從A出發(fā)，以πcm/s的速度沿圓周按順時針方向運動，當點P回到A時立即停止運動．設點P運動時間為t（s）
（1）當t=6s時，∠POA的度數(shù)是

180

；
（2）當t為多少時，∠POA=120°；
（3）如果點B是OA延長線上的一點，且AB=AO，問t為多少時，△POB為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)路程=速度×時間得出當t=6s時，點P運動的路程即

AP

的長度，再根據(jù)弧長公式即可求出∠POA的度數(shù)；
（2）當∠POA=120°時，點P運動的路程為⊙O周長的

1

3

或

2

3

，所以分兩種情況進行分析；
（3）△POB為直角三角形時，由于動點P沿圓周運動，所以以B為頂點的角不可能為直角，那么分∠POB=90°，∠OPB=90°兩種情況進行分析．

解答：解：（1）設∠POA=n°，則

AP

=6π=

nπ×6

180

，
∴n=180．
即∠POA的度數(shù)是180．
故答案為180；

（2）當∠POA=120°時，如圖，點P運動的路程為⊙O周長的

1

3

（圖中P₁處）或

2

3

（圖中P₂處），
設點P運動的時間為ts．
當點P運動的路程為⊙O周長的

1

3

時，π•t=

1

3

•2π•6，
解得t=4；
當點P運動的路程為⊙O周長的

2

3

時，π•t=

2

3

•2π•6，
解得t=8；
∴當點P運動的時間t為4s或8s時，∠POA=120°；

（3）分兩種情況：
①當∠POB=90°時，如圖，點P運動的路程為⊙O周長的

1

4

（圖中P₁處）或

3

4

（圖中P₂處），
設點P運動的時間為ts．
當點P運動的路程為⊙O周長的

1

4

時，π•t=

1

4

•2π•6，
解得t=3；
當點P運動的路程為⊙O周長的

3

4

時，π•t=

3

4

•2π•6，
解得t=9．
∴當點P運動的時間為3s或9s時，△POB為直角三角形；
②當∠OPB=90°時，如圖，（圖中P₃處）或（圖中P₄處），
設點P運動的時間為ts．
當點P運動P₃處時，連接AP₃．
∵∠OP₃B=90°，OA=AB，
∴AP₃=OA=OP₃，
∴△OAP₃是等邊三角形，
∴∠AOP₃=60°，
∴π•t=

1

6

•2π•6，
解得t=2；
當點P運動P₄處時，連接AP₄．
∵∠OP₄B=90°，OA=AB，
∴AP₄=OA=OP₄，
∴△OAP₄是等邊三角形，
∴∠AOP₄=60°，
∴π•t=（1-

1

6

）•2π•6，
解得t=10．
∴當點P運動的時間為2s或10s時，△POB為直角三角形．
綜上可知，當點P運動的時間為2s或3s或9s或10s時，△POB為直角三角形．

點評：本題考查了圓心角、弧、弦的關系，直角三角形的性質等知識，綜合性較強，難度中等．進行分類討論是解題的關鍵，本題容易漏解．