Question

【題目】如圖，AC是⊙O的直徑，點B為⊙O上一點，PA切⊙O于點A，PB與AC的延長線交于點M，∠CAB＝ ∠APB．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）當sinM＝，OA＝2時，求MB，AB的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接OB，根據切線的性質得到OA⊥AP，求得∠OBM=90°，OB⊥MP，根據求得的判定定理即可得到結論；

（2）連接BC，解直角三角形得到MC=1，MB=，根據圓周角定理得到∠ABC=90°，根據相似三角形的性質得到AB=CB，根據勾股定理即可得到結論．

（1）證明：連接，

∵，∴

∵是的切線，∴，∴，

∴，∴，∴，且為半徑，∴為的切線.

（2）連接，

∵，∴，∴，∴

∵為直徑∴，∴，

∵，∴，

∵，∴，又∵，∴

∴，∴，又∵

即，

∴，

∴AB=.