Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在BC上，且BD=BA，點E在BC的延長線上，且CE=CA。
(1)試求∠DAE的度數。
(2)如果把第（1）題中“AB=AC”的條件去掉，其余條件不變，那么∠DAE的度數會改變嗎？試說明理由。

Answer 1

(1)∠DAE=45°；(2)∠DAE的度數不變

試題分析：（1）根據等腰直角三角形的性質求出∠B=∠ACB=45°，根據等邊對等角的性質求出∠BAD=∠BDA，∠E=∠CAE，再根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和即可求出∠DAE的度數；
（2）由BD=BA可得∠BAD=∠BDA=（180°-∠B），由CE=CA可得∠E=∠CAE=∠ACB=（90°-∠B），再根據三角形外角的性質即可得到結論。
（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=（180°-45°）=67.5°，
∵CE=CA，
∴∠E=∠CAE=×45°=22.5°，
∴∠DAE=∠BDA-∠E=67.5°-22.5°=45°；
（2）∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=（180°-∠B），
∵CE=CA，
∴∠E=∠CAE=∠ACB=（90°-∠B），
∴∠DAE=∠BDA-∠E=（180°-∠B）-（90°-∠B）=90°-∠B-45°+∠B=45°，
即∠DAE的度數不變.
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握三角形外角的性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。