Question

【題目】如圖1所示，將一個邊長為2的正方形ABCD和一個長為2，寬為1的長方形CEFD拼在一起，構成一個大的長方形ABEF，現將小長方形CEFD繞點C順時針旋轉至CE′F′D′，旋轉角為α．

（1）當邊CD′恰好經過EF的中點H時，求旋轉角α的大小；

（2）如圖2，G為BC中點，且0°＜α＜90°，求證：GD′=E′D；

（3）小長方形CEFD繞點C順時針旋轉一周的過程中，△DCD′與△BCD′能否全等？若能，直接寫出旋轉角α的大小；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠α=30°；（2）證明見解析；（3）旋轉角a的值為135°或315°時，△BCD′與△DCD′全等．

【解析】試題分析：（1）根據旋轉的性質得CE=CH=1，即可得出結論；

（2）由G為BC中點可得CG=CE，根據旋轉的性質得∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′CE，則∠GCD′=∠DCE′=90°+α，然后根據“SAS”可判斷△GCD′≌△E′CD，則GD′=E′D；

（3）根據正方形的性質得CB=CD，而CD=CD′，則△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，當兩頂角相等時它們全等，當△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時，可計算出α=135°，當△BCD′與△DCD′為銳角三角形時，可計算得到α=315°．

試題解析：（1）

∵長方形CEFD繞點C順時針旋轉至CE′F′D′，∴CE=CH=1，∴△CEH為等腰直角三角形，∴∠ECH=45°，∴∠α=30°；

（2）證明：∵G為BC中點，∴CG=1，∴CG=CE，∵長方形CEFD繞點C順時針旋轉至CE′F′D′，∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，在△GCD′和△E′CD中，∵CD′=CD，∠GCD=∠DCE′，CG=CE′，∴△GCD′≌△E′CD（SAS），∴GD′=E′D；

（3）解：能．

理由如下：

∵四邊形ABCD為正方形，∴CB=CD，∵CD′=CD′，∴△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，當∠BCD′=∠DCD′時，△BCD′≌△DCD′，當△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時，則旋轉角α=（360°-90°）÷2=135°，當△BCD′與△DCD′為銳角三角形時，∠BCD′=∠DCD′=∠BCD=45°，則α=360°﹣90°÷2=315°，即旋轉角a的值為135°或315°時，△BCD′與△DCD′全等．