Question

（2003•無錫）已知拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，又此拋物線交y軸于點(diǎn)C，連AC、BC，且滿足△OAC的面積與△OBC的面積之差等于兩線段OA與OB的積（即S_△OAC-S_△OBC=OA•OB）
（1）求b的值；
（2）若tan∠CAB=，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，是否存在這樣的拋物線，使得△PAB的外接圓半徑為？若存在，求出這樣的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可根據(jù)S_△OAC-S_△OBC=OA•OB來求解，先用OA、OC、OB的長(zhǎng)，表示出△OAC、△OBC的面積，然后根據(jù)韋達(dá)定理即可求出b的值．
（2）先根據(jù)tan∠CAB的值，在直角三角形AOC中，用OC表示出OA的長(zhǎng)，即可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)，將A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，可將拋物線解析式中的待定系數(shù)減少為1個(gè)，然后用這個(gè)待定系數(shù)表示出P、B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出AB的長(zhǎng)，如果過P作拋物線的對(duì)稱軸交x軸于M，交圓于N，那么△PAB的外心必在PN（拋物線的對(duì)稱軸）上，那么可根據(jù)相交弦定理得出AM•BM=PM•MN，據(jù)此可求出拋物線中的待定系數(shù)，由此可得出拋物線的解析式．
解答：解：（1）設(shè)A（x₁，0）、B（x₂，0），由題設(shè)可求得C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，c）
且x₁＜0，x₂＞0
∵a＜0，
∴c＞0
由S_△AOC-S_△BOC=OA×OB
得：-x₁c-x₂c=-x₁x₂
得：c（-）=
得：b=-2

（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，與△PAB的外接圓交于點(diǎn)N
∵tan∠CAB=
∴OA=2•OC=2c
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2c，0）
∵A點(diǎn)在拋物線上，
∴x=-2c，
y=0代入y=ax²-2x+c
得a=-
又∵x₁、x₂為方程ax²-2x+c=0的兩根
∴
即
∴
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-c，c）
由相交弦定理得：AM•BM=PM•MN
又∵AB=c，
∴AM=BM=c，PM=c
∴（c）²=c（c）
∴c=，a=-（9分）
∴所求拋物線的函數(shù)解析式是：y=-x²-2x+．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定，韋達(dá)定理，相交弦定理等知識(shí)點(diǎn)．綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．