Question

【題目】如圖，邊長為4cm的等邊△ABC中，點P、Q分別是邊AB、BC上的動點（端點除外），點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s，連接AQ，CP交于點M，在點P，Q運動的過程中．

（1）求證：△ABQ≌△CAP；
（2）∠QMC的大小是否發生變化？若無變化，求∠QMC的度數；若有變化，請說明理由；
（3）連接PQ，當點P，Q運動多少秒時，△PBQ是直角三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，

∵點P、Q的速度相同，

∴AP=BQ，

在△ABQ和△CAP中，

，

∴△ABQ≌△CAP

（2）

解：∠QMC的大小不發生變化，

∵△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠QMC=∠QAC+∠ACP=∠QAC+∠BAQ=60°

（3）

解：設點P，Q運動x秒時，△PBQ是直角三角形，

則AP=BQ=x，PB=（4﹣x），

當∠PQB=90°時，

∵∠B=60°，

∴BP=2BQ，即4﹣x=2x，

解得，x= ，

當∠PBQ=90°時，

∵∠B=60°，

∴BQ=2BP，即2（4﹣x）=x，

解得，x= ，

∴當點P，Q運動 秒或 秒時，△PBQ是直角三角形

【解析】（1）根據等邊三角形的性質、三角形全等的判定定理證明；（2）根據全等三角形的性質得到∠BAQ=∠ACP，根據三角形的外角的性質解答；（3）分∠PQB=90°和∠PBQ=90°兩種情況，根據直角三角形的性質計算即可．