Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．點E是DC的中點，過點E作DC的垂線交AB于點P，交CB的延長線于點M．點F在線段ME上，且滿足CF=AD，MF=MA．則下列結(jié)論：①若∠MFC=130°，則∠MAB=40°；②∠MPB=90°-

1

2

∠FCM；③△ABM∽△CEF；④S_{四邊形AMED}-S_△EFC；=2S_△MFC′．正確的是（　　）

• A、①②④
• B、①③④
• C、②③
• D、①②③④

Answer 1

分析：連接DF，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)，以及CF=AD，MF=MA，即可證明△AMD≌△FMD≌△FMC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷．

解答：解：連接DF．
（1）∵M(jìn)E⊥CD，E為CD中點
∴ME垂直平分CD
∴MC=MD
又∵CF=DA，MF=MA
∴△CMF≌△DMA
∴∠MAD=∠MFC=130°
 又∵∠BAD=90°
∴∠MAB=40°
故①正確；
∴AM=2MB
（2）∵△CMF≌△DMA
∴∠FCM=∠ADM
又∵AD‖BC
∴∠CMD=∠ADM=∠FCM
∵M(jìn)C=MD，ME為CD邊中垂線
∴ME為∠DMC的角平分線
∴∠BMP=

1

2

∠CMD=

1

2

∠FCM
又∵AB⊥BC
∴∠MPB+∠BMP=90°
∴∠MPB=90°-

1

2

∠FCM
故②正確；
連接DF，則△AMD≌△FMD≌△FMC，
∴S_△AMD=S_△FMD=S_△FMC
∴S_{四邊形AMED}-S_△AMD-S_△FMD=S_△DEF
又∵S_△DEF=S_△EFC
∴S_{四邊形AMED}-S_△EFC；=2S_△MFC
故④正確；
∵∠AMD=∠DMP=∠EMC，∠EFC=∠FMC+∠FCM
∴∠AMB=∠EFC
∵∠ABM=∠MEC
∴△ABM∽△CEF
故③正確．
故正確的是①②③④．
故選D．

點評：本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)以及三角形全等的判定和性質(zhì)，注意到△AMD≌△FMD≌△FMC是解決本題的關(guān)鍵．