Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c和一次函數g（x）=-bx，其中實數a、b、c滿足a＞b＞c，a+b+c=0．
（1）求證：兩函數的圖象相交于不同的兩點A、B；
（2）求線段AB在x軸上的射影A₁B₁長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先將兩函數聯立得出ax²-2bx+c=0，再利用根的判別式得出它的符號即可；
（2）利用線段AB在x軸上的射影A₁B₁長的平方，以及a，b，c的符號得出|A₁B₁|的范圍即可．

解答：解：（1）聯立方程得：ax²+2bx+c=0，
△=4（a²+ac+c²），
∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a＞0，c＜0，
∴△＞0，
∴兩函數的圖象相交于不同的兩點；

（2）設方程的兩根為x₁，x₂，則
|A₁B₁|²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，
=（-

2b

a

）²-

4c

a

=

4b2-4ac

a2

=

4(-a-c)2-4ac

a2

，
=4[（

c

a

）²+

c

a

+1]，
=4[（

c

a

+

1

2

）²+

3

4

]，
∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a＞-（a+c）＞c，a＞0，
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

，
此時3＜A₁B₁²＜12，
∴

3

＜|A₁B₁|＜2

3

．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及根的判別式等知識，熟練利用根的判別式以及兩點之間的距離是解題關鍵．