Question

【題目】某大學生創業團隊抓住商機，購進一批干果分裝成營養搭配合理的小包裝后出售，每袋成本3元．試銷期間發現每天的銷售量y（袋）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數關系，部分數據如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天還需支付其他費用80元．

銷售單價x（元）	3.5	5.5
銷售量y（袋）	280	120

（1）請求出y與x之間的函數關系式．

（2）設每天的利潤為w元，當銷售單價定為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少元？

（3）如果每天獲得不低于160元的利潤，銷售單價范圍是多少？至少出售多少袋？

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣80x+560；（2）當銷售單價定為5元時，每天的利潤最大，最大利潤是240元；（3）當x＝5.5時，y＝﹣80x+560最小為：120袋．

【解析】

（1）根據每天的銷售量y（袋）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數關系，可設y＝kx+b，再將x＝3.5，y＝280；x＝5.5，y＝120代入，利用待定系數法即可求解；

（2）根據每天的利潤＝每天每袋的利潤×銷售量﹣每天還需支付的其他費用，列出w關于x的函數解析式，再根據二次函數的性質即可求解；

（3）根據每天獲得160元的利潤列出方程（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80＝160，解方程并結合3.5≤x≤5.5即可求解．

解：（1）設y＝kx+b，

將x＝3.5，y＝280；x＝5.5，y＝120代入，

得，

解得：，

則y與x之間的函數關系式為y＝﹣80x+560；

（2）由題意得：w＝（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80

＝﹣80x2+800x﹣1760

＝﹣80（x﹣5）2+240，

∵3.5≤x≤5.5，

∴當x＝5時，w有最大值為240．

故當銷售單價定為5元時，每天的利潤最大，最大利潤是240元；

（3）由題意，得（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80＝160，

整理，得x2﹣10x+24＝0，

解得：x1＝4，x2＝6．

∵3.5≤x≤5.5，

∴4≤x≤5.5，

當x＝5.5時，y＝﹣80x+560最小為：120袋．