Question

【題目】有兩張完全重合的矩形紙片，小亮同學(xué)將其中一張繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF（如圖1），連接BD、MF，若此時(shí)他測(cè)得BD=8cm，∠ADB=30度．請(qǐng)回答下列問題：（1）試探究線段BD與線段MF的關(guān)系，并簡要說明理由；

（2）小紅同學(xué)用剪刀將△BCD與△MEF剪去，與小亮同學(xué)繼續(xù)探究．他們將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△AB1D1，AD1交FM于點(diǎn)K（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β（0°＜β＜90°），當(dāng)△AFK為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù)；

（3）若將△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如圖3），F(xiàn)2M2與AD交于點(diǎn)P，A2M2與BD交于點(diǎn)N，當(dāng)NP∥AB時(shí)，求平移的距離是多少？

Answer 1

【答案】（1）BD=MF，BD⊥MF．理由見解析；

（2）β的度數(shù)為60°或15°；

（3）平移的距離是（6﹣2）cm．

【解析】

試題（1）有兩張完全重合的矩形紙片，小亮同學(xué)將其中一張繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF（如圖1），得BD=MF，△BAD≌△MAF，推出BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，進(jìn)而可得∠DNM的大小．

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出結(jié)論．

（3）求平移的距離是A2A的長度．在矩形PNA2A中，A2A=PN，只要求出PN的長度就行．用△DPN∽△DAB得出：，解得A2A的大小．

試題解析：（1）BD=MF，BD⊥MF.

延長FM交BD于點(diǎn)N，

由題意得：△BAD≌△MAF．

∴BD=MF，∠ADB=∠AFM.

又∵∠DMN=∠AMF，

∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，

∴∠DNM=90°，

∴BD⊥MF；

（2）當(dāng)AK=FK時(shí)，∠KAF=∠F=30°，

則∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°，

即β=60°；

②當(dāng)AF=FK時(shí)，∠FAK==75°，

∴∠BAB1=90°﹣∠FAK=15°，

即β=15°；

∴β的度數(shù)為60°或15°；

（3）由題意得矩形PNA2A．設(shè)A2A=x，則PN=x，

在Rt△A2M2F2中，∵F2M2=FM=8，

∴A2M2=4，A2F2=4，∴AF2=4﹣x．

∵∠PAF2=90°，∠PF2A=30°，

∴AP=AF2tan30°=4﹣x．

∴PD=AD﹣AP=4﹣4+x．

∵NP∥AB，

∴∠DNP=∠B．

∵∠D=∠D，

∴△DPN∽△DAB.

∴.

∴，

解得x=6﹣2.

即A2A=6﹣2．

答：平移的距離是（6﹣2）cm．