Question

如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于A，B兩點，與x軸交于點C，過A作AD⊥x軸于D，若OA=，AD=OD，點B的橫坐標為
（1）求一次函數的解析式及△AOB的面積．
（2）已知反比例函數y₁和一次函數y₂，結合圖象直接寫出：當y₁＞y₂時，x的取值范圍．
（3）在坐標軸上是否存在點P使△OAP為等腰三角形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖，連接OB，在Rt△AOD中，OA=，AD=OD，且OD²+AD²=OA²，
代入解得AD=1，OD=2，故A（-2，1），設B點縱坐標為h，已知B點橫坐標為，
則（-2）×1=h，
解得h=-4，
故B（，-4），
設直線AB解析式為y=kx+b，則，
得，
直線AB解析式為y=-2x-3，由此可得C（-，0），
所以，S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=××（1+4）=；

（2）當y₁＞y₂時，x的取值范圍是：-2＜x＜0或x＞；

（3）存在點P使△OAP為等腰三角形，
此時，P點坐標為（，0），（0，），（-4，0），（0，2），（-，0），（，0），（0，），（0，-）．
分析：（1）連接OB，在Rt△AOD中，由勾股定理求OD、AD，確定A點坐標，根據反比例函數圖象上的點橫坐標與縱坐標的積不變，求B點縱坐標，根據A、B兩點坐標求直線AB的解析式，根據直線AB的解析式求OC的長，求△AOB的面積；
（2）根據A、B兩點的橫坐標，可求當y₁＞y₂時，x的取值范圍；
（3）①當AO為等腰三角形的底時，作線段OA的中垂線，與坐標軸相交，有兩交點為所求P點；
②當OA為腰，點A為頂點時，以A為圓心，OA長為半徑圓弧，與坐標軸相交，有兩交點為所求P點；
當OA為腰，點O為頂點時，以O為圓心，OA長為半徑圓弧，與坐標軸相交，有四個交點即為所求P點．
點評：本題考查了反比例函數的綜合運用．關鍵是根據勾股定理求A點坐標，根據反比例函數圖象上點的特點求B點坐標，確定直線AB的解析式，再結合圖象的性質，等腰三角形的性質解題．