Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+bx+c經過點A（4，0）、B（-1，0），與y軸交于點C，D為拋物線的頂點，過A、B、C 作⊙P．

（1）求b、c的值；

（2）求證：線段AB是⊙P的直徑；

（3）連接AC，AD，在坐標平面內是否存在點Q，使得△CDA～△CPQ，若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】(1) ;(2)證明見解析；（3）Q1（-，-），Q2（，）．

【解析】

試題分析：（1）用待定系數法求出拋物線的系數b，c；

（2）先求出點C（0，2），再根據A（4，0）、B（-1，0），求出AC2，BC2，AB2，用勾股定理逆定理說明△ABC是直角三角形即可；

（3）先求出線段AC，AD，CD，CP，根據三角形相似得到比例式，再設出點Q的坐標建立方程求解．

試題解析：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c經過點A（4，0）、B（-1，0），

∴，

∴

（2）由（1）可知拋物線的解析式為：y=-x2+x+2，C（0，2），

∵A（4，0）、B（-1，0），

∴BC2=OB2+OC2=1+4=5，AC2=OA2+OC2=16+4=20，AB2=25，

∴BC2+AC2=AB2，

∴∠ACB=90°，

∴線段AB是⊙P的直徑；

（3）由（1）可知拋物線的解析式為：y=-x2+x+2，

∴D（，），

∵A（4，0），C（0，2），

∴AC=2，AD=，CD=，

∵P（，0），

∴CP=，

∵△CDA∽△CPQ，

∴

∴，

∴PQ=，CQ=，

設點Q（m，n），

∴PQ==，

CQ==，

∴或，

∴Q1（-，-），Q2（，）．