Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知二次函數y=ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）圖象與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D．

（1）求點A，B的坐標；

（2）若M為對稱軸與x軸交點，且DM=2AM．

①求二次函數解析式；

②當t﹣2≤x≤t時，二次函數有最大值5，求t值；

③若直線x=4與此拋物線交于點E，將拋物線在C，E之間的部分記為圖象記為圖象P（含C，E兩點），將圖象P沿直線x=4翻折，得到圖象Q，又過點（10，﹣4）的直線y=kx+b與圖象P，圖象Q都相交，且只有兩個交點，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0）、B（3，0）；（2）①y=x2﹣2x﹣3；②t值為0或4；③﹣1≤b＜11或b=﹣4．

【解析】

（1）令y＝0，即：ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得：x＝﹣1或3，即可求解；

（2）①DM＝2AM＝4，即點D的坐標為（1，﹣4），將點D的坐標代入二次函數表達式，即可求解；

②分x＝t和x＝t﹣2在對稱軸右側、左側或兩側三種情況，討論求解即可；

③如下圖所示，直線m、l、n都是直線y＝kx+b與圖象P、Q都相交，且只有兩個交點的臨界點，即可求解．

解：（1）令y=0，即：ax2﹣2ax﹣3a=0，解得：x=﹣1或3，

即點A、B的坐標分別為（﹣1，0）、（3，0），函數的對稱軸

（2）①DM=2AM=4，即點D的坐標為（1，﹣4），

將點D的坐標代入二次函數表達式得：

﹣4=a﹣2a﹣3a，解得：a=1，即函數的表達式為：y=x2﹣2x﹣3；

②當x=t和x=t﹣2在對稱軸右側時，函數在x=t處，取得最大值，

即：t2﹣2t﹣3=5，解得：t=﹣2或4（舍去t=﹣2），即t=4；

同理當x=t和x=t﹣2在對稱軸左側或兩側時，解得：t=0，

故：t值為0或4；

③如下圖所示，直線m、l、n都是直線y=kx+b與圖象P、Q都相交，且只有兩個交點的臨界點，

點E、R、C'坐標分別為（4，5）、（10，﹣4）、（8，﹣3），直線l的表達式：把點E、R的坐標代入直線y=kx+b得：

解得：

同理可得直線m的表達式為：

直線n的表達式為：y=﹣4，故：b的取值范圍為：﹣1≤b＜11或b=﹣4．