Question

已如：矩形ABCD中，，點M在對角線AC上，直線過點M且與AC垂直，與AD相交于點E。

（1）如果直線與邊BC相交于H（如圖1），，且，求AE的長；（用含的代數式表示）

（2）在（1）中，又直線把矩形分成兩部分的面積比為25，求的值；

（3）若，且直線經過點B（如圖2），求AD的長；

（4）如果直線分別與邊AD、AB相交于點E、F，。設AD長為，的面積為，求與的函數關系式，并指出的取值范圍。（求的取值范圍可不寫過程）

Answer 1

解：( 1 )∵在矩形ABCD 中．∠D = 90º,

∴，

∵，，

∴∽

∴，

∴，

( 2 ) （法一）

∵AD∥BC，易得∽，

∴

∴，∴

∴梯形面積

∵，∴，∴，

∴，∴（負值舍去，經檢驗是原方程的解）

（法二）∵由（1）得，∴

∵AD∥BC，易得∽

∴

∴，∴

∵，∴

( 3 ) （法一）與（1）、（2）同理得，，

∴

∴，

∵直線過點B，∴

∴，∴（負值舍去，經檢驗是原方程的解）

（法二）連結BD交AC于點O，則

又∵，∴

∵，∴

∴是等邊三角形，

∵，∴∴。

( 4 )

（法一）在中，∵，∴，，

由∽，有：，∴

∵，∴

∴，又∵

∴∽，∴

∴，∴，

∴與的函數關系式是。

（法二）在中，∵，∴，，

由∽，有：，∴

∵，∴

∴，又∵

∴∽，∴，

∴

∴與的函數關系式是