Question

如圖1，已知點A₁，A₂，A₃是拋物線y=x²上的三點，線段A₁B₁，A₂B₂，A₃B₃都垂直于x軸，垂足分別為點B₁，B₂，B₃，延長線段B₂A₂交線段A₁A₃于點C．
（1）在圖（1）中，若點A₁，A₂，A₃的橫坐標依次為1，2，3，求線段CA₂的長；
（2）若將拋物線改為y=x²-x+1，如圖2，點A₁，A₂，A₃的橫坐標依次為三個連續整數，其他條件不變，求線段CA₂的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了A₁，A₂，A₃三點的橫坐標，可代入拋物線的解析式中求出A₁B₁，A₂B₂，A₃B₃的長，由于A₁，A₂，A₃的橫坐標是連續的三個整數，那么可用中位線定理來求出CB2的長，由此可根據CA₂=CB₂-A₂B₂，求出CA₂的長．
（2）可先設出A₁，A₂，A₃的橫坐標依，由于這三個橫坐標也是連續的整數，因此可按照（1）的方法進行求解．
解答：解：（1）∵點A₁，A₂，A₃的橫坐標依次為1，2，3，
∴A₁B₁=×1=，A₂B₂=×4=2，A₃B₃=×9=；
由于A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，且B₁B₂=B₂B₃，
∴CB₂=（A₁B₁+A₃B₃）=，
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=-2=．

（2）設：點A₁，A₂，A₃的橫坐標依次為n-1，n，n+1，
∴A₁B₁=（n-1）²-（n-1）+1，A₂B₂=n²-n+1，A₃B₃=（n+1）²-（n+1）+1；
由于A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，且B₁B₂=B₂B₃，
∴CB₂=（A₁B₁+A₃B₃）=[（n-1）²-（n-1）+1+（n+1）²-（n+1）+1]=n²-n+，
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=n²-n+-（n²-n+1）=．
點評：本題考查了中位線定理，二次函數的應用等知識點，屬于猜想類試題，解法不唯一，例如本題求CA₂長還可以用B₂點處兩函數的差來求．