Question

如圖，已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，將一塊三角尺的直角頂點與斜邊AB的中點M重合，當三角尺繞著點M旋轉時，兩直角邊始終保持分別與邊BC、AC交于D，E兩點（D、E不與B、A重合）．
（1）求證：MD=ME；
（2）求四邊形MDCE的面積；
（3）若只將原題目中的“AC=BC=2”改為“BC=a，AC=b，（a≠b）”其它都不變，請你探究：MD和ME還相等嗎？如果相等，請證明；如果不相等，請求出MD：ME的值．

Answer 1

（1）證明：在Rt△ABC中，M是AB的中點，且AC=BC，
∴CM=AB=BM，
∠MCA=∠B=45°，CM⊥AB，
而∠BMD=90°-∠DMC，∠EMC=90°-∠DMC．
∴∠BMD=∠EMC．
△BDM≌△CEM（ASA）．
∴MD=ME．

（2）解：∵△BDM≌△CEM，
∴S_{四邊形DMEC}=S_△DMC+S_△CME=S_△DMC+S_△BMD=S_△BCM=S_△ACB=1
∴四邊形MDCE的面積為1；

（3）解：不相等．
如圖所示，過M點作MF⊥BC于F，MH⊥AC于H，
∵M是AB的中點，
∴MF=b，MH=a．
∠FMD=90°-∠DMH，∠EMH=90°-∠DMH，
故∠FMD=∠EMH，
∠MFD=∠MHE=90°，
∴△MFD∽△MHE，
∴===．
分析：（1）證明MD和ME所在的△BDM≌△CEM即可；
（2）由（1）中的全等得到面積相等，把所求的四邊形的面積進行轉換，成為三角形的面積即可；
（3）因為利用不了等腰直角三角形的一些性質，所以不全等．
點評：本題考查了三角形全等的判定和性質；兩個角在不同的三角形中要證明相等時，通常是利用全等來進行證明，應注意需注意已證得條件在以后證明中的應用．