Question

【題目】如圖，直線y＝x+c與x軸交于點B（4，0），與y軸交于點C，拋物線y＝x2+bx+c經過點B，C，與x軸的另一個交點為點A．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是直線BC下方的拋物線上一動點，求四邊形ACPB的面積最大時點P的坐標；

（3）若點M是拋物線上一點，請直接寫出使∠MBC＝∠ABC的點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）點P（2，﹣）；（3）或．

【解析】

（1）將點B坐標代入并解得：，故拋物線的表達式為：，將點B坐標代入上式，即可求解；

（2）因為S四邊形ACPB=S△AOC+S△PCB，∵S△AOC是常數，故四邊形面積最大，只需要S△PCB最大即可，S△PCB= ，即可求解；

（3）過點B作∠ABC的角平分線交y軸于點G，交拋物線于M，利用角平分線的性質求出的坐標，進而求直線的解析式，聯立解析式解方程組即可得到一個答案，利用角的對稱性求出在下方時關于的對稱點，求出直線的解析式，即可聯立解析式求解．

解：（1）將點B坐標代入并解得：c＝﹣3，

故拋物線的表達式為：，

將點B坐標代入上式并解得：，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣x﹣3；

（2）過點P作PH∥y軸交BC于點H，

設點，則點，

S四邊形ACPB＝S△ABC+S△PCB，

∵S△ABC是常數，故四邊形面積最大，只需要S△PCB最大即可，

S△PCB＝×OB×PH＝，

∵＜0，∴S△PCB有最大值，此時，點P（2，﹣）；

（3） 過點B作∠ABC的角平分線交y軸于點G，交拋物線于M，

因為：，所以：，

由角平分線的性質得： 所以：，

解得：，所以：，

設為：，所以：

，解得： ，

所以為：，

所以： ，

解得： ，

所以：此時M

過點G作GK⊥BC交BC于點K，延長GK交BM于點H，使，

則，BC是GH的中垂線， OB=4，OC=3，則BC=5，

在Rt△GCK中，，，

則cos∠CGK=，sin∠CGK=，

則點，

因為點K是點GH的中點，

則點，

則直線BH的表達式為：，

所以：，

解得：，

所以：．

綜上：或．