Question

如圖，△OBC是邊長為4的等邊三角形，點C在x軸正半軸上，AB⊥y軸于點A，OH⊥BC于點H．動點P從點H出發，沿線段HO向點O運動，動點Q從點O出發，沿線段OA向點A運動，兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度．設動點P和Q運動的時間為t秒．
（1）求OH的長；
（2）設△OPQ的面積為S（平方單位）．求S與t之間的函數關系式，并求t為何值時，△OPQ的面積最大，最大值是多少？
（3）當△OPQ與△OCH相似時，求t的值．

Answer 1

分析：（1）根據，△OBC是邊長為4的等邊三角形，得出∠OHC=90°，CH=

1

2

BC=2，再根據勾股定理即可求出OH的長；
（2）首先表示出線段PO，作PD⊥y軸于點D，利用銳角三角函數表示出線段PD的長，然后利用三角形的面積計算方法得到有關S于t的二次函數關系式，然后求最值即可；
（3）利用相似三角形的對應邊的比相等分兩種情況討論即可得到有關t的方程求得t值即可．

解答：解：（1）∵△OBC是等邊三角形，OH⊥BC，
∴∠OHC=90°，CH=

1

2

BC=2，
在Rt△OHC中，
OH=

42-22

=2

3

；

（2）由題意OQ=PH=t，
OP=OH-PH=2

3

-t，∠POD=90°-30°=60°，
作PD⊥y軸于點D，
則PD=OP•sin60°=（2

3

-t）×

3

2

=3-

3

2

t，
∴S=

1

2

OQ•PD=

1

2

•t•（3-

3

2

t）=-

3

4

t²+

3

2

t  （0≤t≤2

3

），
S=-

3

4

（t-

3

）²+

3 3

4

，
∴當t=

3

時，△OPQ的面積最大，最大值是

3 3

4

；

（3）∵∠POQ=∠OCH=60°，
∴當

OQ

CH

=

OP

OC

或

OQ

OC

=

OP

CH

時，△OPQ與△OCH相似，
得：

t

2

=

2 3 -t

4

或

t

4

=

2 3 -t

2

，
解得t=

2

3

3

或t=

4

3

3

，
∴t=

2

3

3

或t=

4

3

3

時，△OPQ與△OAB相似．

點評：本題考查了相似形的綜合，用到的知識點是直角三角形的性質，銳角三角函數值，點的坐標的運用，三角形的面積公式的運用，二次函數的頂點式的運用，解答時運用直角三角形的性質根據三角函數值求解是關鍵，靈活運用拋物線的頂點式是難點．