Question

【題目】已知，在中，，AD平分，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，在AD上取點(diǎn)E，使得，EM與DC的延長線交于點(diǎn)F.

當(dāng)時，求AE的長；求的大小．

當(dāng)時，探究與的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）

【解析】

（1）①先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AD=AB=，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得出DE=AM=，再代入AE=AD-DE即可；

②連接DM，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及已知條件得出AD⊥BC，AD=DC，DM=MC=AM=DE，DM⊥AC，∠MDC=∠MDE=45°，利用三角形內(nèi)角和定理以及等邊對等角求出∠DEM=（180°-45°）=67.5°，那么∠F=90°-67.5°=22.5°；

（2）當(dāng)∠BAC≠90°時，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADC=90°．設(shè)∠BAC=4x，則∠DAC=2x．根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出DM=MC=AM=DE，利用三角形內(nèi)角和定理以及等邊對等角求出∠ADM=∠DAC=2x，∠DEM=（180°-2x）=90°-x，那么∠F=90°-DEM=90°-（90°-x）=x，從而得出∠BAC=4∠F．

解：當(dāng)時，

；

連接DM．

，，AD平分，

，．

點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，

，，

，

，

；

當(dāng)時，理由如下：

，AD平分，

．

設(shè)，則．

點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，

，

，

，

，

．