Question

已知：在矩形ABCD中，E為邊BC上的一點，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F為線段BE上一點，EF=7，連接AF。如圖1，現有一張硬紙片△GMN，∠NGM=90⁰，NG=6，MG=8，斜邊MN與邊BC在同一直線上，點N與點E重合，點G在線段DE上。如圖2，△GMN從圖1的位置出發，以每秒1個單位的速度沿EB向點B勻速移動，同時，點P從A點出發，以每秒1個單位的速度沿AD向點D勻速移動，點Q為直線GN與線段AE的交點，連接PQ。當點N到達終點B時，△GMNP和點同時停止運動。設運動時間為t秒，解答問題：

（1）在整個運動過程中，當點G在線段AE上時，求t的值；
（2）在整個運動過程中，是否存在點P，使△APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；
（3）在整個運動過程中，設△GMN與△AEF重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t的函數關系式以及自變量t的取值范圍。

Answer 1

解：（1）∵∠NGM=90⁰，NG=6，MG=8，，
∴由勾股定理，得NM=10。
當點G在線段AE上時，如圖，

此時，GG′=MN=10。
∵△GMN從圖1的位置出發，以每秒1個單位的速度沿EB向點B勻速移動，
∴t=10秒。
（2）存在。
由矩形ABCD中，AB=12，BE=16，得AE=20。
①當0＜t≤10時，線段GN與線段AE相交，如圖，過點Q作QH⊥BC于點H，QI⊥AB于點I，過點P作PJ⊥IJ于點J。

根據題意，知AP=EN=t，
由△QNE∽△GNM得，即，∴。
由△QHE∽△NGM得，即，
∴。
∴。
若AP=AQ，則，解得，不存在；
若AP=PQ，則，△＜0，無解，不存在；
若AQ=PQ，則，無正數解，不存在。
②當10＜t≤16時，線段GN的延長線與線段AE相交，如圖，過點Q作QH⊥BC于點H，QI⊥AB于點I，過點P作PJ⊥IJ于點J。

同上，AP=EN=t，
由△QNE∽△GNM得，即，∴。
由△QHE∽△NGM得，即，
∴。
∴。
若AP=AQ，則，解得。
若AP=PQ，則，△＜0，無解，不存在；
若AQ=PQ，則，無正數解，不存在。
綜上所述，存在，使△APQ是等腰三角形。
（3）S與t的函數關系式為。

（1）由勾股定理，求出MN的長，點Q運動到AE上時的距離MN的長，離從而除以速度即得t的值。
（2）分0＜t≤10和10＜t≤16兩種情況討論，每種情況分AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ三種情況討論。
（3）當0＜t≤7時，△GMN與△AEF重疊部分的面積等于△QNE的面積，
由（2）①，EN=t，，∴。
當7＜t≤10時，如圖，△GMN與△AEF重疊部分的面積等于四邊形QIFE的面積，它等于△NQE的面積減去△NIF的面積。

由（2）①，EN=t，，∴。
過點I 作IJ⊥BC于點J，
∵EF=7，EN=t，∴。
由△FJI∽△FBA得，即。
由△INJ∽△MNG得，即。
二式相加，得�！�
∴。
當10＜t≤時，如圖，△GMN與△AEF重疊部分的面積等于四邊形GIFM的面積，它等于△GMN的面積減去△INF的面積。
過點I 作IH⊥BC于點H，

∵EF=7，EN=t，∴。
由△FHG∽△FBA得，即。
由△INH∽△MNG得，即。
二式相加，得�！�。
∴。
當＜t≤16時，如圖，△GMN與△AEF重疊部分的面積等于△IFM的面積。

∵，
（同上可得），
∴。
綜上所述，。