Question

（2013•寶山區一模）在平面直角坐標系中，拋物線過原點O，且與x軸交于另一點A（A在O右側），頂點為B．艾思軻同學用一把寬3cm的矩形直尺對拋物線進行如下測量：（1）量得OA=3cm，（2）當把直尺的左邊與拋物線的對稱抽重合，使得直尺左下端點與拋物線的頂點重合時（如圖1），測得拋物線與直尺右邊的交點C的刻度讀數為4.5cm．
艾思軻同學將A的坐標記作（3，0），然后利用上述結論嘗試完成下列各題：
（1）寫出拋物線的對稱軸；
（2）求出該拋物線的解析式；
（3）探究拋物線的對稱軸上是否存在使△ACD周長最小的點D；
（4）然后又將圖中的直尺（足夠長）沿水平方向向右平移到點A的右邊（如圖2），直尺的兩邊交x軸于點H，G，交拋物線于E，F，探究梯形EFGH的面積S與線段EF的長度是否存在函數關系．
同學：如上述（3）（4）結論存在，請你幫艾思軻同學一起完成，如上述（3）（4）結論不存在，請你告訴艾思軻同學結論不存在的理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線過原點O及A點（3，0），根據拋物線的對稱性，由中點坐標公式，即可求出拋物線的對稱軸為直線x=

0+3

2

，即x=

3

2

；
（2）先由拋物線的對稱軸為直線x=

3

2

，設拋物線的解析式為頂點式y=a（x-

3

2

）²+k，則頂點B的坐標為（

3

2

，k），再將x=

9

2

代入，求出點C的縱坐標為9a+k，根據MC=4.5，求出a=

1

2

，然后將A點坐標（3，0）代入y=

1

2

（x-

3

2

）²+k，求出k=-

9

8

，得到拋物線的解析式為y=

1

2

（x-

3

2

）²-

9

8

，即y=

1

2

x²-

3

2

x；
（3）由于O、A兩點關于拋物線的對稱軸對稱，所以連接OC，交拋物線的對稱軸于點D，則△ACD的周長最小．先運用待定系數法求出直線OC的解析式，再將x=

3

2

代入，求出y的值，即可得到D點坐標；
（4）先用含a的代數式分別表示E，H，F，G四點的坐標，得到EH與FG的長度，再根據梯形的面積公式求出S=

3

2

a²，再運用兩點之間的距離公式求出EF=3

1+a2

，則

2S

3

=

EF2

9

-1，整理后得出S=

1

6

EF²-

3

2

，即S是EF長度的二次函數．

解答：解：（1）∵拋物線過原點O，且與x軸交于另一點A（A在O右側），OA=3，
∴A點坐標為（3，0），
∴拋物線的對稱軸為直線x=

3

2

；

（2）∵拋物線的對稱軸為直線x=

3

2

，
∴可設拋物線的解析式為y=a（x-

3

2

）²+k，
∴頂點B的坐標為（

3

2

，k）．
如圖1，∵點C的橫坐標為：ON=

3

2

+3=

9

2

，點C在拋物線y=a（x-

3

2

）²+k上，
∴點C的縱坐標為a（

9

2

-

3

2

）²+k=9a+k．
∵MC=4.5，
∴9a+k-k=4.5，
∴a=

1

2

，
將A點坐標（3，0）代入y=

1

2

（x-

3

2

）²+k，
得

1

2

（3-

3

2

）²+k=0，解得k=-

9

8

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

（x-

3

2

）²-

9

8

，即y=

1

2

x²-

3

2

x；

（3）拋物線的對稱軸上存在使△ACD周長最小的點D，理由如下：
如圖1，連接OC，交拋物線的對稱軸于點D，則△ACD的周長=AC+AD+CD=AC+OD+CD=AC+OC最小．
設直線OC的解析式為y=mx，將點C的坐標（

9

2

，

27

8

）代入，
得

9

2

m=

27

8

，解得m=

3

4

，
即直線OC的解析式為y=

3

4

x，
當x=

3

2

時，y=

3

4

×

3

2

=

9

8

．
故所求D點坐標為（

3

2

，

9

8

）；

（4）梯形EFGH的面積S與線段EF的長度存在函數關系，理由如下：
如圖2，設點E橫坐標為a，則E點坐標為（a，

1

2

a²-

3

2

a），H點坐標為（a，0），
點F橫坐標為a+3，F點坐標為（a+3，

1

2

（a+3）²-

3

2

（a+3）），G點坐標為（a+3，0），
∵梯形EFGH的面積S=

1

2

（EH+FG）•HG=

1

2

[（

1

2

a²-

3

2

a）+

1

2

（a+3）²-

3

2

（a+3）]×3=

3

2

a²，
又∵

1

2

（a+3）²-

3

2

（a+3）-（

1

2

a²-

3

2

a）=3a，EF=

32+(3a)2

=3

1+a2

，
∴

2S

3

=

EF2

9

-1，
∴S=

1

6

EF²-

3

2

，即S是EF長度的二次函數．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數法求正比例函數與二次函數的解析式，二次函數的性質，平移、軸對稱的性質，梯形的面積、兩點之間的距離公式，綜合性較強，難度適中．根據拋物線的性質運用待定系數法求出二次函數的解析式是解題的關鍵．