Question

已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，D為邊BC上任意一點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上．
（1）如圖a，當(dāng)△ABC是等邊三角形時，證明：AE+AF=

3

2

BC．
（2）如圖b，若△ABC中，∠BAC=120°，探究線段AE，AF，AB之間的數(shù)量關(guān)系，并對你的猜想加以證明．
（3）如圖c，若△ABC中，AB=10，BC=16，EF=6，利用你對（1），（2）兩題的解題思路計算出線段CD（BD＞CD）的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠EDB=∠FDC=30°，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得EB=

1

2

BD，F(xiàn)C=

1

2

CD，然后表示出AE+AF即可；
（2）根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠B=∠C=30°，然后解直角三角形表示出BE、CF，再表示出AE+AF整理即可得解；
（3）過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BM，再利用勾股定理列式求出AM，根據(jù)（2）的思路求出AE+AF，過點(diǎn)F作FG⊥BA的延長線于G，過點(diǎn)C作CN⊥BA的延長線于N，利用△ABC的面積求出CN，再利用勾股定理列式求出AN，設(shè)AF=x，然后解直角三角形表示出AG、FG，然后表示出EG，在Rt△EFG中，利用勾股定理列出方程求出x，再求出CF，然后解直角三角形即可得到CD．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠EDB=∠FDC=30°，
∴EB=

1

2

BD，F(xiàn)C=

1

2

CD，
∴BE+FC=

1

2

BD+

1

2

CD=

1

2

BC，
∴AE+AF=AB+AC-BE-FC=2BC-

1

2

BC，
∴AE+AF=

3

2

BC；

（2）解：AE+AF=

1

2

AB．
理由：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴BE=BD•cos30°，CF=CD•cos30°，
∴AE+AF=AB-BE+AC-CF，
=2AB-BD•cos30°-CD•cos30°，
=2AB-BC•cos30°，
=2AB-2AB•cos30°×cos30°，
=

1

2

AB，
即AE+AF=

1

2

AB；

（3）解：過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，
∵AC=AB=10，BC=16，EF=6，
∴BM=CM=8，
由勾股定理得，AM=

AB2-BM2

=

102-82

=6，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴在Rt△BDE中，BE=BD•cos∠B=

8

10

BD=

4

5

BD，
在Rt△CDF中，CF=CD•cos∠C=

8

10

CD=

4

5

CD，
∴BE+CF=

4

5

（BD+CD）=

4

5

BC=

4

5

×16=

64

5

，
∴AE+AF=AB+AC-（BE+CF）=2×10-

64

5

=

36

5

，
過點(diǎn)F作FG⊥BA的延長線于G，過點(diǎn)C作CN⊥BA的延長線于N，
則S_△ABC=

1

2

AB•CN=

1

2

BC•AM，
即

1

2

×10•CN=

1

2

×16×6，
解得CN=

48

5

，
由勾股定理，AN=

AC2-CN2

=

102-( 48 5 )2

=

14

5

，
∴sin∠CAN=

CN

AC

=

48 5

10

=

24

25

，
cos∠CAN=

AN

AC

=

14 5

10

=

7

25

，
設(shè)AF=x，則AE=

36

5

-x，
在Rt△AFG中，F(xiàn)G=AF•sin∠CAN=

24

25

x，
AG=AF•cos∠CAN=

7

25

x，
∴EG=AE+AG=

36

5

-x+

7

25

x=

36

5

-

18

25

x，
在Rt△EFG中，EF²=EG²+FG²，
即6²=（

36

5

-

18

25

x）²+（

24

25

x）²，
整理得，5x²-36x+55=0，
解得x₁=5，x₂=

11

5

，
∵BD＞CD，
∴AF=AE=5，
∴CF=AC-AF=10-5=5，
CD=CF÷cos∠C=5÷

4

5

=

25

4

．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用以及解直角三角形，讀懂題目信息理清求解AE+AF的思路是解題的關(guān)鍵，（3）題較為復(fù)雜，作輔助線構(gòu)造出直角三角形并利用勾股定理列出方程，然后求出AF的長是解題的關(guān)鍵．