Question

如圖，已知平面直角坐標系，A、B兩點的坐標分別為A（2，-3），B（4，-1）．
（1）若P（p，0）是x軸上的一個動點，則當p=______時，△PAB的周長最短；
（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x軸上的兩個動點，則當a=______時，四邊形ABDC的周長最短；
（3）設M，N分別為x軸和y軸上的動點，請問：是否存在這樣的點M（m，0）、N（0，n），使四邊形ABMN的周長最短？若存在，請求出m=______，n=______（不必寫解答過程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設點B（4，-1）關于x軸的對稱點是B'，其坐標為（4，1），
設直線AB'的解析式為y=kx+b，
把A（2，-3），B'（4，1）代入得：，
解得，
∴y=2x-7，
令y=0得x=，
即p=．

（2）過A點作AE⊥x軸于點E，且延長AE，取A'E=AE．做點F（1，-1），連接A'F．那么A'（2，3）．
直線A'F的解析式為，即y=4x-5，
∵C點的坐標為（a，0），且在直線A'F上，
∴a=．

（3）存在使四邊形ABMN周長最短的點M、N，
作A關于y軸的對稱點A′，作B關于x軸的對稱點B′，連接A′B′，與x軸、y軸的交點即為點M、N，
∴A′（-2，-3），B′（4，1），
∴直線A′B′的解析式為：y=x-，
∴M（，0），N（0，-）．
m=，n=-．
分析：（1）根據題意，設出并找到B（4，-1）關于x軸的對稱點是B'，其坐標為（4，1），進而可得直線AB'的解析式，進而可得答案；
（2）過A點作AE⊥x軸于點E，且延長AE，取A'E=AE．做點F（1，-1），連接A'F．利用兩點間的線段最短，可知四邊形ABDC的周長最短等于A'F+CD+AB，從而確定C點的坐標值．
（3）根據對稱軸的性質，可得存在使四邊形ABMN周長最短的點M、N，當且僅當m=，n=-；時成立．
點評：考查圖形的軸對稱在實際中的運用，同時考查了根據兩點坐標求直線解析式，運用解析式求直線與坐標軸的交點等知識．