Question

（1）已知：關于x、y的方程組有兩個實數解．求m的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，若拋物線y=-（m+1）x²+（m-5）x+6與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且△ABC的面積等于12，確定此拋物線及直線y=（m+1）x-2的解析式；
（3）你能將（2）中所得的拋物線平移，使其頂點在（2）中所得的直線上嗎？請寫出一種平移方法．

Answer 1

解：（1）由方程組得-（m+1）x²-6x+8=0有兩個實數解．
∴△=36+32（m+1）≥0．
∴m≥-且m≠-1；

（2）y=-（m+1）x²+（m-5）x+6，C（0，6）．
設A（x₁，0），B（x₂，0），則有×|x₁-x₂|×6=12，|x₁-x₂|=4．
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16，（）²+=16；
整理得5m²+6m-11=0．
解得m₁=1，m₂=-（舍）．
表達式為y=-2x²-4x+6，y=2x-2；

（3）能平移，y=-2x²-4x+6=-2（x+1）²+8．
一種平移方法：向下平移8個單位，再向右平移2個單位，得到拋物線y=-2（x-1）²．
分析：（1）可將方程組中的兩個函數式聯立成一個一元二次方程，根據方程組有兩個實數解，那么方程的△＞0，由此可得出m的取值范圍．
（2）根據拋物線的解析式可知C點的坐標為（0，6），因此可根據△ABC的面積求得AB的距離應該是12，然后設出A，B的坐標，根據一元二次方程根與系數的關系即可求出m的值．也就能確定出拋物線和直線的解析式．
（3）可以平移．根據二次函數的性質，先向下平移8個單位，再向右平移2個單位可得．本題方法不唯一，正確就行．
點評：本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系、根的判別式以及二次函數與一元二次方程的關系等知識點．