Question

如圖，AB是半圓O的直徑，以OA為直徑的半圓O′與弦AC交于點D，O′E∥AC，并交OC于點E，則下列結論：①S_△O′OE=

1

2

S_△AOC²；②點D時AC的中點；③

AC

=2AD；④四邊形O′DEO是菱形．其中正確的結論是（　　）

A．①②③④

B．①②③

C．②③④

D．①③④

Answer 1

分析：連結O′D，OD，由O′E∥AC可判斷△OO′E∽△OAC，利用相似三角形的性質得

S△O′OC

S△AOC

=（

OO′

OA

）²=

1

4

；由OA為半圓O′的直徑，根據圓周角定理得∠ADO=90°，則根據垂徑定理得到AD=CD，即點D時AC的中點；于是可判斷O′D為△ACO的中位線，則O′D∥OC，得到∠AO′D=∠AOC=α，然后根據弧長公式得到

AC

的弧長=2

AD

的弧長；再證明O′E為△ACO的中位線得到OE=CE，則DE∥OA，于是可判斷四邊形O′DEO為平行四邊形，然后利用OO′=OE判斷四邊形O′DEO是菱形．

解答：解：連結O′D，如圖，
∵AB是半圓O的直徑，OA為半圓O′的直徑，
∴OA=2O′A，
∵O′E∥AC，
∴△OO′E∽△OAC，
∴

S△O′OC

S△AOC

=（

OO′

OA

）²=（

1

2

）²=

1

4

，所以①錯誤；
連結OD，
∵OA為半圓O′的直徑，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AC，
∴AD=CD，所以②正確；
∴O′D為△ACO的中位線，
∴O′D∥OC，
∴∠AO′D=∠AOC=α，
∴

AD

的弧長=

α•π•O′A

180

AC

的弧長=

α•π•OA

180

=

α•π•2O′A

180

，
∴

AC

的弧長=2

AD

的弧長，所以③正確；
∵O′E∥AC，點O′為OA的中點，
∴O′E為△ACO的中位線，
∴OE=CE，
∴DE∥OA，
∴四邊形O′DEO為平行四邊形，
而OO′=OE，
∴四邊形O′DEO是菱形．所以④正確．
故選C．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和菱形的判定；會運用相似三角形的判定與性質進行幾何計算；記住弧長公式和三角形中位線性質．