Question

【題目】如圖，是將拋物線 平移后得到的拋物線，其對稱軸為 ，與x軸的一個交點為A ，另一交點為B，與y軸交點為C．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）若點 為拋物線上一點，且BC⊥NC，求點N的坐標；
（3）點P是拋物線上一點，點Q是一次函數 的圖象上一點，若四邊形OAPQ為平行四邊形，這樣的點P、Q是否存在？若存在，分別求出點P、Q的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設拋物線的解析式是 ．

把 代入得 ，解得，

則拋物線的解析式是 ，即 ；

（2）解：

方法一：設直線BC的解析式為 ，

∴直線BC的解析式為 ，

由BC⊥NC，則設直線CN的解析式為

，即直線CN的解析式為

∵N為直線BC與CN的交點，

∴聯立方程得： ，即 ，

∴ ，則N的坐標是

方法二：在 中令 ，則 ，

即C的坐標是 ，OC=3．

∵B的坐標是 ，

∴OB=3，

∴OC=OB，則△OBC是等腰直角三角形．

∴∠OCB=45°，

過點N作NH⊥y軸，垂足是H．

∵∠NCB=90°，∴∠NCH=45°，

∴NH=CH，∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，

設點N縱坐標是 ．

∴ ，

解得 （舍去）或 ，

∴N的坐標 ；

（3）解：∵四邊形OAPQ是平行四邊形，

則PQ=OA=1，且PQ∥OA，

設 ，則 代入 ，

得 ，

整理，得 ，

解得 或 ．

∴ 的值為3或 ．

∴P、Q的坐標是 或 ．

【解析】（1）由其對稱軸為 x = 1 ，可得頂點橫坐標為1，再由與x軸的一個交點為A ( 1 , 0 )，且由平移可得a=-1，所以易由頂點式求得解析式為y = x 2 + 2 x + 3
（2）由B(3，0)C(0,3)易得直線BC為y = x + 3 ，由于BC⊥NC，可得直線NC的斜率k=1,結合點C(0,3)，可得到直線NC為y = x + 3；所求點N為二次函數與直線NC的交點，連列方程組可得N的坐標是 ( 1 ， 4 )。
（3）由四邊形OAPQ是平行四邊形易得PQ=OA=1，且PQ∥OA，所以若設 P ( t , t 2 + 2 t + 3 )，則可得 Q ( t + 1 , t 2 + 2 t + 3 )由于Q為直線y = x + 的點，代入可計算出t= 0 或 t = ，代入所設 P ( t , t 2 + 2 t + 3 )， Q ( t + 1 , t 2 + 2 t + 3 ) 即可得兩點坐標。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．