Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，E是AB延長線上一點，點C是⊙O上的一點，連結EC、BC、AC，且∠BCE＝∠BAC.
（1）求證：EC是⊙O的切線.
（2）過點A作AD垂直于直線EC于D，若AD＝3，DE＝4，求⊙O的半徑.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

試題分析：（1）連結OC，根據圓周角定理由AB是⊙O的直徑得∠1+∠2=90°，而∠1=∠A，∠A=∠BCE，所以∠BCE=∠1，即∠BCE+∠2=90°，然后根據切線的判定定理即可得到EC是⊙O的切線.
（2）設⊙O的半徑為r，在Rt△ADE中利用勾股定理計算出AE=5，則OE=5-r，OC=r，咋證明△EOC∽△EAD，利用相似比得到 ，即，然后解方程即可得到圓的半徑．
（1）如圖，連接OC，
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，即∠1＋∠2＝90°.
∵OC＝OA，∴∠1＝∠A.
又∵∠A＝∠BCE，∴∠BCE＝∠1.
∴∠BCE＋∠2＝90°，即OC⊥EC.
又EC過半徑OC的外端，∴EC是⊙O的切線.

（2）由（1）可知OC⊥EC，
又AD⊥EC，∴OC∥AD. ∴△EOC∽△EAD. ∴.
設⊙O的半徑為r,
在Rt△ADE中AD＝3，ED＝4，則AE＝5,
∴OE＝5－r；OC＝r.
∴.
∴, 即⊙O的半徑為.