Question

（2012•南昌模擬）繪制函數y=x+

1

x

的圖象，我們經歷了如下過程：確定自變量x的取值范圍是x≠0； 列表--描點--連線，得到該函數的圖象如圖所示．

x	…	-4	-3	-2	-1	- 1 2	- 1 3	- 1 4	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…	-4 1 4	-3 1 3	-2 1 2	-2	-2 1 2	-3 1 3	-4 1 4	4 1 4	3 1 3	2 1 2	2	2 1 2	3 1 3	4 1 4	…

觀察函數圖象，回答下列問題：
（1）函數圖象在第

一、三

象限；
（2）函數圖象的對稱性是

C

A．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形     B．只是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形
C．不是軸對稱圖形，而是中心對稱圖形     D．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形
（3）在x＞0時，當x=

1

時，函數y有最

小

（大，小）值，且這個最值等于

2

；
在x＜0時，當x=

-1

時，函數y有最

大

（大，小）值，且這個最值等于

-2

；
（4）方程x+

1

x

=-2x+1是否有實數解？說明理由．

Answer 1

分析：根據題中題干的表格，在平面直角坐標系中描出相應的點，然后用平滑的曲線作出函數圖象，如圖所示：
（1）由函數圖象可知：函數圖象位于第一、三象限；
（2）由函數圖象可知：該函數圖象為中心對稱圖形，不是軸對稱圖形；
（3）當x大于0時，函數圖象為第一象限部分，有最低點，可得當x=1時，y有最小值為2；當x小于0時，函數圖象為第三象限部分，有最高點，可得當x=-1時，y有最大值-2；
（4）所求方程沒有實數根，理由為：所求方程可看做函數y=x+

1

x

與y=-2x+1的交點橫坐標，由圖形可知兩函數圖象沒有交點，故所求方程沒有實數根．

解答：解：作出函數圖象，如圖所示：

（1）函數圖象在第一、三象限；
（2）函數圖象不是軸對稱圖形，而是中心對稱圖形，選C；
（3）在x＞0時，當x=1時，函數y有最小值，且這個最值等于2；
在x＜0時，當x=-1時，函數y有最大值，且這個最值等于-2；
（4）方程x+

1

x

=-2x+1沒有實數解，理由為：y=x+

1

x

與y=-2x+1在同一直角坐標系中無交點．
故答案為：（1）一、三；（2）C；（3）1，小，2；-1，大，-2

點評：此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：圖形的對稱性，函數的最值，以及利用數形結合的方法求方程的解，根據題意作出相應函數圖象是解本題的關鍵．