Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線PA是一次函數的圖象，直線PB是一次函數的圖象，點P是兩直線的交點，點A、B、C、Q分別是兩條直線與坐標軸的交點。

（1）用分別表示點A、B、P的坐標及∠PAB的度數；
（2）若四邊形PQOB的面積是，且CQ:AO=1:2，試求點P的坐標，并求出直線PA與PB的函數表達式；
（3）在（2）的條件下，是否存在一點D，使以A、B、P、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）點A(，0) ,點B(，o),點P,45°（2）PA的函數表達式為，PB的函數表達式為,（3）

解：(1)在直線中，令，得． ∴點A(，0)．……1分
在直線中，令，得． ∴點B(，o)．……1分
由 得    ∴點P
在直線中，令，得，∴，即有AO=QO．
又∠AOQ=90°，∴∠PAB＝45°．   ……1分
(2)∵，，AO=CO，而CQ：AO＝1：2
而．
過點P作PE垂直x軸于點E．
．
                           ……2分
∴(舍去)．得．∴P()．
∴PA的函數表達式為，PB的函數表達式為．   ……1分
(3)存在．
過點P作直線PM平行于x軸，過點B作AP的平行線交PM于點，過點A作BP的平行線交PM于點，過點A、B分別作BP、AP的平行線交于點．
①∵∥AB且∥AP，∴是平行四邊形．此時，易得；
②∵∥AB且∥BP，∴是平行四邊形．此時，易得；
③∵∥AP且∥BP，此時是平行四邊形．∵∥AP且B(2，O)，∴。同理可得．
由  得       ∴         ……3分

（1）已知直線解析式，令y=0，求出x的值，可求出點A，B的坐標．聯立方程組求出點P的坐標．推出AO=QO，可得出∠PAB=45°．
（2）先根據CQ：AO=1：2得到m、n的關系，然后求出S_△AOQ，S_△PAB并都用字母m表示，根據
S_{四邊形PQOB}=S_△PAB-S_△AOQ積列式求解即可求出m的值，從而也可求出n的值，繼而可推出點P的坐標以及直線PA與PB的函數表達式．
（3）本題要依靠輔助線的幫助．求證相關圖形為平行四邊形，繼而求出D₁，D₂，D₃的坐標．