Question

【題目】如圖，在ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，∠BCD的平分線交AD于點F．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）若AE=5，BC﹣AB=3，求四邊形AECF的周長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接AC．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，

∵AC平分∠BAC，FC平分∠BCD，

∴∠DAE=∠BAE，∠DCF=∠BCF．

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，∠DFC=∠BCF．

∴∠BAE=∠AEB，∠DFC=∠DCF，

∴AB=BE，DF=CD，

∴BE=DF．

∴AF=EC，又AD∥BC，即AF∥EC，

∴四邊形AFCE是平行四邊形

（2）由（1）知，AB=BE，DF=CD．

∵BC﹣AB=3，

∴BC﹣BE=EC=3．

又∵AE=5，

∴四邊形AECF的周長=2（AE+EC）=2×（5+3）=16．

【解析】（1）根據角平分線的定義以及平行線的性質，證明∠BAE=∠AEB，證明AB=BE，然后證明CD=DF，即可證得AF=CE，證明四邊形AECF是平行四邊形；（2）利用四邊形的周長公式進行解答即可．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質的相關知識點，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．